Сумма подмножества проблемы для перестановок
-
28-09-2020 - |
Вопрос
Учитывая перестановки $ g_1, \, \ ldots, g_m \ in s_n $ Размер $ n $ И целевая перестановка $ G \ in s_n $ , решить, существует ли подмножество $ \ {g_1, \, \, \, \, \ ldots, g_m \} $ , какой композицию в некотором смысле (или, альтернативно, как вариант этой проблемы, в том же порядке) равен $ G $ < / span>, т.е. $ g_ {i_1} \ circ g_ {i_2} \ circ \ cdots \ circ g $ {i_k}= g $ .
Это на самом деле A a Проблема подмножества Summent , но для Симметричная группа $ (s_n, \ circ) $ вместо < Spaness Class="Math-Container"> $ (\ mathbb {z}, +) $ .
Вопросы:
- есть известное решение в многочленом времени?
- в противном случае эта проблема известна как np-comply?
Я нашел бумагу на Кнапсолога проблем в группах , однако, эти результаты кажутся не применимо для симметричной группы.
Решение
Эта проблема, которую я позвоню под названием-SUM-SUM, является NP-Complete. Членство легко: угадайте подмножество не детерминированно, а затем проверьте.
для твердости можно уменьшить от 3CNF-SAT очень похожими на стандартное доказательство твердости для суммы подмножества.
Пусть $ \ varphi $ - это входная формула с помощью $ v $ Переменные и $ C $ Clauses. Мы построим экземпляр подмножества - Sum-Sum over $ s_ {2v + 4c} $ . Для каждой переменной мы строим $ 2 $ Перестановки (тот, который будет представлять переменную, и тот, который будет представлять его отрицание), а для каждого пункта мы будем строить
к каждому пункту $ c_j, 1 \ leq j \ leq c $ Мы связываем Элементы $ 4 $ :
Рассмотрим
Рассмотрим теперь MultiSet $ m $ , который является объединением $ p (x_i) $ и
Мы определяем целевую перестановку $ T $ AS:
$$ t=prod_ {i= 1} ^ v (2i-1, 2i) \ cdot \ prod_ {j= 1} ^ c p (c_j) ^ 3 $$
Предположим, что такое $ x $ существует, то мы знаем, что мы знаем
Другие советы
Проблема суммы подмножества еще более сложнее (NP-HARD) для специальных групп, которые вы можете встроить в $ s_n $ . Смотрите бумагу, которую вы связали в описании проблемы.
$ \ textbf {Наблюдение:} $ $ g $ может быть записан в качестве комбинации элементов Spaness Class="Math-Container"> $ \ {g_1, \ ldots, g_k \} $ Если и только если $ g \ in \ langle g_1, \ ldots, G_K \ Rangle $ . Под предположением, что каждый из $ G_I $ может появиться любое количество раз.
Сложность проблемы зависит от входного представления. Существует два двух наиболее часто используемых способа, таблица Cayley и Generation Set. Для таблицы Cayley см. Этот документ для результатов. Прочитайте CGM (проблема членства в Cayley) Ссылка
$ \ textbf {cgm} $
$ \ textbf {вход:} $ Группа $ G $ по ее таблице Cayley, SPAN CLASS= «Математический контейнер»> $ x \ subsretq g $ и $ t \ in g $ .
$ \ textbf {Выход:} $ делает $ T $ принадлежат к подгруппе $ \ langle x \ rungle $ сгенерировано $ x $ ?
в общей проблеме в симметричном пространстве журнала.
$ \ langle \ rungle $ означает подгруппу, генерируемую $ a $