Нижняя граница на количестве (разных) цепей данного размера?
-
29-09-2020 - |
Вопрос
Для цепей с $ n $ входные биты, мы знаем, что для любой функции $ S $ , в большинстве $ o (s (n) ^ {s (n)})= o (2 ^ {s (n) \ log s (n)}) $ < / Span> Circuits с размером на большинстве $ s (n) $ .
Скажите два цепей $ C_1 $ и $ C_2 $ Если функция, которую они вычисляют, отличается, то есть, есть, есть $ n $ string
Очевидно, что такая граница должна быть строго меньше, чем $ o (s (n) ^ {s (n)}) $ Связается, поскольку есть пары цепей с разными структурами (и даже разным количеством ворот), и которые тем не менее вычисляют ту же функцию (т. Е. Они не «разные», как определено выше) - но насколько меньше может быть?
Решение
Пусть $ 1000 \ leq s \ leq 2 ^ n / n $ . Каждая функция на $ m $ Bits может быть вычислена с помощью размера $ o (2 ^ m / m) $ (Я считаю, что даже оптимальная константа известна).Выберите значение $ m $ Таким, что каждая функция на $ m $ Bits может быть вычисляется с помощью цепиРазмер $ s $ и, кроме того $ S=Omega (2 ^ м / м) $ . Поскольку есть $ 2 ^ {2 ^ m}= s ^ {\ Omega (s)} $ Разные функции на $ m$ биты, мы видим, что ваша верхняя граница довольно плотная.