Снижение 3-окрасной задачи к представителям трио

Question

Группа студентов делится на триоссы - группы из 3 членов.Каждый студент может быть назначен более чем больше трио.Мы хотим присвоить их представителям, выбрав ровно один член каждого трио.Это возможно такое задание?

Моя цель - использовать полиномиальные сокращения времени для преобразования 3-окраски графа в эту проблему.Однако я застрял на правильном представлении.

.

• Если каждая вершина - это другой студент, и края представляют собой в том же трио, как я отделим трио?

• Если каждый узел представляет триО, что может быть разумным значением краев?

Я подозреваю, что, поскольку 4-х клика не имеет адекватной 3-окраски (которая также может означать, что 4 триос с теми же у членов нет возможных представительных присваиваний), последний вариант может быть более разумным, но я неуверен, как действовать с этим восстановлением.

Answer 1

Пусть $ g= (v, e) $ Будьте экземпляра 3 $ $ Окраска. Построить экземпляр $ \ phi $ of 3-SAT следующим образом.

.
• для каждой вершины $ v \ in v $ Создать $ 3 $ Переменные $ v_a, v_b, v_c $ Представление $ 3 $ Возможные способы цвета $ v $ .
• для каждой вершины $ v \ in v $ Создание пунктов $ (v_a \ vee v_b \ vee vea v_c) \ Клин (\ uverline {v_a} \ vee \ overline {v_b}) \ {ve_b}) \ enge (\ uverline {v_b} \ vee \ rovline {v_c}) \ enge (\ uverline {v_c} \ vee \ unverline {v_a}) $ . Это кодирует тот факт, что $ v $ должен быть окрашен ровно одним цветом.
• для каждого края $ (u, v) \ in e $ Создание пунктов $ (\ udlene {v_a} \ vee \ uverline {u_a}) \ {u_a}) \ enge (\ uverline {v_b} \ vee \ overline {u_b}) \ enge (\ uverline {v_c} \ vee \ uverline {u_c}) $ . Это гарантирует, что $ u $ и $ V $ не может быть предоставлен один и тот же цвет.

Очевидно, что вышеуказанное уменьшение может быть выполнено в PoyLnomial-время и гарантирует, что есть удовлетворяющее задание $ \ phi $ IFF, есть 3-окраска для < Spant Class="Математический контейнер"> $ g $ .

Теперь преобразуйте экземпляр $ \ PHI $ из 3-SAT в эквивалент экземпляра $ \ phi '$ < / span> 1-in-3 SAT (см. Здесь для Определение 1-в-3 SAT и сокращение от 3-SAT).

Мы, следовательно, показали, что 3-окраска - это полиномиальное время, сокращаемое до 1-в-3 SAT. Оказывается, что 1-в-3 SAT имеет именно ваша проблема: набор студентов - это набор переменных и, для каждого пункта $ \ {x_i, x_j, x_k \} $ Вы создаете группу, содержащую студентов $ x_i $ , $ x_j $ , а $ x_k $ . Установка переменной в True соответствует выбору соответствующего студента в качестве лидера.