Проблема остановки противавтоматическое доказательство теорем?

Question

В учебном пособии по теории вычислений, предлагаемом Complexity Tree (я только что начал второе видео), рассказывается о том, как была разработана проблема остановки, чтобы показать, что математику невозможно автоматизировать.В последнее время я довольно много слышал об автоматическом доказательстве теорем - некоторые люди даже утверждают, что когда-нибудь математиков заменят машины.Мой вопрос заключается в следующем:Нужно ли нам находить изъян в рассуждениях о задаче остановки, чтобы доказать, что математику можно автоматизировать?(Или проблема остановки в эпоху машинного обучения сводится к хорошему историческому отчету о прошлом ...)

Answer 1

Понятие автоматизации математики - это расплывчатая, и это учет расхождения здесь.

Одна интерпретация будет: автоматизировать математику, будет создавать машину $ m $ , что может сказать, является ли данное предложение верным (или, более слабому , добрасывается от некоторого согласованного набора аксиом, таких как $ \ mathsf {zfc} $ ). Даже более слабая версия исключается неисправностью проблемы остановки.

Другая интерпретация: для автоматизации математики состоит в том, чтобы изготовить машину $ m $ , который найдет доказательства всех доказанных (опять же, от этого согласованного набора аксиом ) предложения. Обратите внимание, что $ m $ не требуется, чтобы определить, будет ли предложение доказано в первую очередь, просто чтобы найти доказательство , если Такое доказательство существует вообще . Это возможно через поиск грубой силы.

Конечно, что вторым типом автоматизации очень неисправен - в целом, Это будет смешно долго находить доказательства теорем . Но это не влияет на его принципиальную возможность. Это действительно точка отправной точкой автоматической теоремы, доказывающей: тривиально возможным достойным видом на грубую силу, и тривиально это ужасно в целом - мы можем найти умные стратегии поиска в Интерес ? (И это место, где теория сложности входит в картину.)

Answer 2

Вы смешиваете два возможных значения фразы "математика может быть автоматизирована".:

1. "любая теорема может быть доказана истинной или ложной с помощью алгоритма"
2. "практическая деятельность по доказательству теорем, которая в настоящее время выполняется людьми, вместо этого может быть выполнена компьютерами экономически целесообразным способом".

Из-за проблемы остановки ни один алгоритм не может доказать или опровергнуть все теоремы.Но это относится как к людям, так и к компьютерам!

Не обязательно, чтобы в доказательстве неразрешимости задачи остановки был какой-то изъян, чтобы (теоретически) работа математиков-людей устарела.Машине не обязательно уметь решать неразрешимые задачи, чтобы исключить трудовую функцию математиков—людей - она просто должна уметь доказывать представляющие интерес теоремы более эффективно, чем это возможно для людей.Это вопрос не вычислимости или асимптотической вычислительной сложности, а экономики.

Нет никаких оснований думать, что человеческий мозг однозначно превосходит их в доказательстве математических теорем.Более того, благодаря Парадокс Моравека, мы должны ожидать что компьютеры, возможно, лучше доказывают теоремы, чем люди.Человеческий мозг - это мешок с мясом, эволюционная история которого практически не предусматривает вознаграждений за пригодность по фенотипу "может доказывать сложные теоремы". Таким образом, мы могли бы ожидать, что увидим компьютер, обладающий сверхразумием в области доказательства теорем, раньше, чем мы ожидали бы увидеть компьютер, обладающий сверхразумием, скажем, в области охоты на мегафауну.

Answer 3

Я думаю, что этот вопрос должен дать вам Ответ.

https:// cstheory.stackexchange.com / Вопросы / 2800 / IF-NP-NP-Mize-We-Proof-Contentials-of Goldbachs-honjecture-etc

Короче говоря, если p= np, то любая гипотеза с разумным доказательством длины может быть доказана компьютером.