Существование / Несуществование последовательности с короткой длинной растущей подпоследовательностью и уменьшением подпоследовательности?
https://cs.stackexchange.com/questions/128260
-
29-09-2020 - |
italiano
english
français
española
中国
日本の
العربية
Deutsch
한국어
Português
RussianВопрос
может существовать любая целочисленная последовательность $ a $ длины $ n $ со всеми уникальными элементами, такимиТо, что длина его самой длинной растущей подпоследовательности, а также в его длинной снижении подпоследовательности меньше, чем $ \ DisplayStyle \ LFLOOR \ FRAC {N} {2} \ RFLOOR $ ?
Если да, то приведите пример такой последовательности.В противном случае, может кто-нибудь предложить доказательство того, что не может существовать такой последовательности?
(просто добавить некоторое вещество, может быть показано, что могут существовать такие последовательности, учитывая любое произвольное значение $ n> 1 $ ?)
Решение
Ответ на вопрос OP в том, что нет, если $ n \ le 7 $ и да иначе.
Для предоставления любого положительного целочисленного числа $ r $ и $ S $ , Томеральные теоремы Erdős-Szekeres показывают, что для любой последовательности отчетливых действительных чисел с длиной По крайней мере, $ (R - 1) (S - 1) + 1 $ содержит растущую подпоследовательность длины $ R $ < / span> или уменьшающаяся подпоследовательность длины $ s $ .
Оказывается, что связано, $ (R - 1) (S-1) +1 $ крепко. То есть для любого положительного числа $ R $ и $ S $ , есть последовательность различных чисел С длиной $ (R - 1) (S-1) $ , который не содержит увеличения подпоследовательности длины $ R $ И не уменьшается подпоследовательность длины $ S $ .
Вот такой пример.
$$ \ begin {Array} {} & S-1, & S-2, & \ CDOTS, & 2, & 1 \\ & 2 (S-1), & (S-1) + S-2, & \ CDOTS, & (S-1) + 2, & (S-1) + 1 \\ & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ & (R-2) (S-1), & (R-3) (S-1) + S-2, & \ CDOTS, & r-3) (S - 1) +2, & (r- 3) (S-1) +1 \\ & (R-1) (S-1), & r-2) (S - 1) + S-2, & \ CDOT, & r-2) (S - 1) +2, & r- 2) (S-1) +1 \\ \ end {Array} $$
Рассмотрим числа выше, чтение слева направо, а затем сверху вниз. Другими словами, последовательность - $ S-1 $ down, чтобы в $ 1 $ , затем
Легко видеть, что нет никакой растущей подпоследовательности длины R и не уменьшается подпоследовательность длины $ s $ .
Например, когда $ r= s= 5 $ , у нас есть $$ 4,3,2,1, \ \, 8,6,6,5, \ \, 12,11,10,9, \ \, 16,15,14,13 $$ Что не имеет увеличения подпоследовательности длины $ 5 $ Ни Снижение подпоследовательности длины 5 $ .
Если мы позвольте $ r= s $ , раздел выше подразумевает, что для любого положительного числа $ n $ < / span> существует целочисленная последовательность длины $ n $ со всеми уникальными элементами, такими, как длина его самой длинной растущей подпоследовательности, а также ее самого длинного снижения подпоследовательности На большинстве $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ . И $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ - это плотная верхняя граница.
С момента $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ ge \ lleoor \ frac n2 \ Rfloor \ \ text {для всех} n \ le 7 $$ и $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ lt \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {для всех} n \ gt 7, $$ Ответ на вопрос ОП в том, нет, если $ n \ le 7 $ и да иначе.
Например, для $ n= 8 $ , у нас есть последовательность 3,2,1,6,5 доллара, 4,9,8,7 $ .
Другие советы
Вот прямое строительство такой последовательности для любых кратных четырех. Он состоит из четырех одинаково размером пробега последовательных целых чисел.
Первый и третий пробеги увеличиваются. Второе и четвертое прогоны уменьшаются. Работы используют диапазоны чисел, такие что $ r_2
$$ 9,10,11,12 | 4,3,2,1 | 5,6,7,8 | 16, 15,14,13 $$
Самая длинная растущая подпоследовательность длина $ n + 2 $ . Например, в вышеприведенном выше, где $ 4n= 16 $ , самая длинная растущая подпоследовательность имеет длину 6 $ $ ( 1 $ | 5, 6, 7, 8 | 16 $ ). Никакая растущая подпоследовательность не дольше:
- .
- Невозможно выбрать элемент из как растущих прогонов, поскольку любой элемент в первом растущем пробеге дисквалифицирует все из второго растущего прогона.
- Невозможно выбрать более одного элемента от убывающего запуска
Симметричный аргумент применяется для уменьшения подпоследовательности.
С момента $ n + 2 << 2n $ , это работает как контрпример для любых кратковременных последовательности. Вы можете легко подумать с дополнительными элементами последовательности для некрасочных четырех длин.
Я наткнулся на эту конструкцию, рассмотрев последовательность, которая была «холмом» (увеличением, затем уменьшается), что идеально соответствует вашему состоянию. Расширение этих долгосрочных прогонов может быть сделано сделать два холма (увеличение, уменьшение, увеличение, уменьшение), что эта последовательность делает, обеспечивая наклон вверх / вниз одного «Hill», не продолжается другой.
Есть также короткие последовательности, которые удовлетворяют вашему запросу. Рассмотрим, например, первые 16 сроков последовательности корпуса двоичного ванна DER $$ 0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15. $$ В целом существует последовательность $ t $ длины $ n \ Geq1 $ , содержащий самую длинную растущую подпоследовательностьюДлина $ x \ geq 1 $ и самый длинный снижение подпоследовательности длины $ y \ geq 1 $ если иТолько если цифры $ x $ , $ y $ и $ n $ удовлетворяет условиям $ x \ cdot y \ geq n $ и $ x + y \ leqn + 1 $ , см. Здесь .Обратите внимание, что ссылка дает конструктивное доказательство.
такие последовательности существуют.Достаточно создавать большую достаточно случайную последовательность.Если вы проверяете книгу Dan Romik, Удивительная математика самых длительных растущих подпоследовательностей , теорема 1.1 утверждает, что
$$ \ frac {\ els_n} {\ sqrt n} \ до 2, $$
Где $ \ ell_n $ представляет собой ожидаемую длину увеличения подпоследовательности в случайной перестановке размера $ n $ .То же самое для уменьшения.Следовательно, для достаточно большого количества $ n $ Должен существовать последовательность с увеличением, так и убывающейся последовательностями длин с большинства $ 5 \ sqrtn $ , иначе:
$$ 2 E [\ erce_l_n]= e [| deck_n |+ | ELVEL_N |] \ GE 5 \ SQRT N, $$
, что противоречит теореме.
