Почему математические доказательства так сильно?

https://cs.stackexchange.com/questions/128980

29-09-2020
|

Вопрос

Я инженер-электрик и пытаюсь сделать переход в машинное обучение.Я читаю в нескольких статьях, которые я должен изучать структуры данных и алгоритмы, до этого я должен узнать о математических доказательствах.Я начал изучать его на своем собственном использовании материала, доступных на MIT OCW, в то время как я поставил концепции индукции и хорошо заказа и т. Д.

Я борюсь с упражнениями в течение очень долгого времени, и это действительно разочаровывает.Я могу легко справиться с любыми видами доказательствами, которые я видел раньше (например, когда я увидел доказательство вопроса рецидива, я стал довольно хорошо, доказал их).Мои проблемы начинаются, когда столкнулись с необычным вопросом.Я чувствую, что я запоминаю доказательства, а не учиться, как доказать.

Есть ли способ (или любые ресурсы), которые могут улучшить мои доказывания навыков таким образом, что всякий раз, когда я вижу необычный вопрос (например, плитки шахматов и типом вопросов шахматной плитки), мне не нужно смотреть на них2 часа, прежде чем отказаться?

Решение

Я чувствую, что я запоминаю доказательства, а не учиться, как доказать

Вы не можете учиться "как доказать". «Доказательство» не является механическим процессом, а скорее творческий, где вы должны изобрести новую технику для решения заданной проблемы. Профессиональный математик мог провести всю свою жизнь, пытаясь доказать данное заявление и никогда не добиться успеха.

Я могу легко справиться с любыми видами доказательств, которые я видел раньше (например, как только я увидел доказательство вопроса рецидива, я стал довольно хорошо, простирающим их). Мои проблемы начинаются, когда столкнулись с необычным вопросом.

это нормально. Любая математика «Доказательства», курс «Доказательства» не предназначена для того, чтобы научить вас принять произвольную проблему, которую вы никогда не видели и сможете решить ее (так как никто, даже самые лучшие профессора математики могут это сделать). Скорее, ваши цели обучения

Узнайте, как «читать» доказательства и судите их правильность

Узнайте, как «писать» вниз доказательство на правом математическом языке

Узнайте о известных доказательственных «техниках» и как их применять

Если вы работаете над новой, неизвестной проблемой, нормально, что вы можете не сможете ее решить. Тем не менее, Знание и запомнив других методов доказательства, может помочь вам. Зачастую доказательства включают в себя сочетание новой идеи с существующими известными методами доказательства. Чем больше, и чем больше разнообразных доказательств вы уже знаете, тем лучше ваш шанс быть в состоянии решить данную проблему.

Вы на правильном пути. Вы должны просто продолжать изучать методы доказательства. Упражнения, которые вы делаете, хороши. Не волнуйтесь, если вы застряли. По мере того, как вы становитесь более опытными, и ваш «набор инструментов» используются методы, вы сможете решить упражнения, которые менее «одинаковы» предыдущие, которые вы видели.

Другие советы

Как упомянули другие авторы, частично, потому что доказательства по своей природе тяжело, но и отчасти из-за холода факта, что доказательства не пишется с целью обучения , дажев большинстве учебников.Скорее, большинство доказательств выписаны из своего рода обязательств, как своего рода убегающий аргумент;Не представляя доказательства вообще считаются неприемлемыми, но написание их в изнурительных деталях будет сжечь автор, а также поставить под угрозу читатель, потерявший в лесу.Следовательно, большинство доказательств сжаты нарочно, оставляя много точек исключительно для читателя, чтобы связаться.Хотя некоторые люди находят это полезным упражнением, многие читатели, как вы, и меня, и мне, что делает математику излишне сложными.Это также почему классная педагогика в университетской обстановке незаменим для профессионального математического обучения, поскольку инструменты диалога могут заполнить пробел доказательств учебников.

Я могу, безусловно, порекомендую книгу Г. Полиа, Как решить ее . Это стандартная классика, не быть пропущена. Существует более новая книга Как прочитать и делать доказательства: введение в математические мыслительные процессы Даниэль Солоу, которые могут быть более доступными.

В любом случае, выполнение доказательств, полностью неестественно для людей. Это дисциплина, которая требует тщательной мысли, мы обычно не используем. Мы привыкли делать много допущений, чтобы пройти через наши дни и нашу жизнь. Если бы нам пришлось оправдать первый из них, мы не смогли встать с постели. Математическое доказательство полосет допущения и живет только на том, что вы можете показать четко и однозначно.

У меня были похожие проблемы с проблемами над тригонометрическими тождествами. Попытка попасть с начала до финиширования легко, когда есть известный, ученый метод. Изначения могут потребовать несколько шагов в неизвестных направлениях без особого смысла направления. Доказательства немного проще, поскольку логические методы довольно ограничены и известны (если вы читаете книги). Держите на это.

Я люблю ответ Тома: нет волшебной пули, но вам просто нужно продолжать делать упражнения и постепенно вы будете разрабатывать лучшую интуицию и знать, как атаковать проблему.

Что касается ресурсов, вам может понравиться книгу Г. Полии, как ее решить.Похоже, Статья Wikipedia дает хороший и несколько подробный обзор.По сути, книга предложит вам стратегию или методы для устранения математических утверждений и их доказательствами.

Почему математические доказательства так сильно? ... Я должен изучать структуры данных и алгоритмы,

Мое предположение. Вы также захотите узнать о пространстве алгоритмов и сложности пространства алгоритмов, сколько количественно, в больших обозначении. Сложность времени, в частности, намеки на зачем доказательствами трудно. Если я обещал вам, что у вас есть доказательство не более длины $ n $ данного заявления, как бы вы его нашли? Теоретически вы можете пройти все доказательства длины $ \ le n $ до тех пор, пока вы не найдете одно, что примет экспоненциальное время, скажем, $ n $ для чтения). Это слишком неэффективно для наших целей, если только $ n $ очень мало. Там может быть гораздо лучший алгоритм, но никто не нашел особенно эффективным генералом. Вот почему доказательство вещей остается «творческим» упражнением, которым мы имеем в виду: «Мы не знаем в псевдокодных терминах, как работает такое мышление».

Есть ли способ (или любые ресурсы), которые могут улучшить мои доказывания навыков таким образом, что всякий раз, когда я вижу необычный вопрос (например, плитки шахматов и типом вопросов шахматной плитки), мне не нужно смотреть на них 2 часа, прежде чем отказаться?

Вы называете такие вопросы необычного, но вы знаете, какие примеры дать. Это суть проблемы прямо там. Это только «необычно» в вашем опыте, если вы не видели его (много). Как отмечают другие ответы, просто продолжайте учиться больше инструментов. Надеюсь, вы должны быть в состоянии сказать, какие из них помогают с проблемой. Судя по вашему выбору примеров, использование инвариантов в доказательствах - это то, на что вы могли бы работать. Я не знаю, насколько хороша ваша большая / маленькая о нотации o, но я снова упомяну об этом теме, потому что это часто полезно доказать результаты, такие как неравенство или что-то зависимое от них, например, Ограничения (по крайней мере, если вы хотите дать $ \ varepsilon $ - $ \ delta $ Доказательство ).

Некоторые доказательства должны быть громоздкими, другие просто громоздкие, даже когда их могут быть проще, но автор не придумал более элегантный способ написать его.Придумываясь с простым доказательством еще сложнее, чем понимание доказательства, и поэтому многие доказательства более сложны, чем они должны быть.

Нет общих советов, как понять доказательства (элегантный или нет).Некоторая техника, которую вы можете попробовать, это опровергнуть заявление.Почему доказательство работает?Что произойдет, когда вы оставляете один из предварительных условий для доказательства?

Если вы уже довольно удобны с программированием, вам может быть наслаждаться обучением использовать Интерактивный помощник доказательства < / a> как кок или худой. Помощник доказательства - это язык программирования с очень богатой системой типа, в которой можно выразить конструктивную логику. Эти виды языков в значительной степени действуют по понятию, что есть прямая аналогия между программами и их типами на стороне программирования и между предложениями и доказательствами на математике. (Это называется изоморфизм Curry-Howard .) >

Действительно интересный проект на этих строках является Игра Натуральный номер Игра является частью более крупной программы несколькими профессорами Imperial College в Лондоне, чтобы оформить всю бакалавриату, используя доказательную ассистент Lean . В начале игры вам даны только аксиомы арифметики Peano: 0 - это естественное число, преемник естественного числа является естественным числом, а преемник любого естественного числа не равен себе. Вам разрешено использовать обычные правила логики и индукции предикатов и индукции. Объектом игры состоит в том, чтобы придумать строгие формальные доказательства свойств добавления, умножения и некоторой основной теории номера.

Доказательными помощниками Эффективно Gamify делает чистую математику - они помнят правила для вас, и они дают вам обратную связь практически в режиме реального времени. Если вы ищете способ улучшить свои навыки при выполнении доказательств за счет самостоятельного изучения, я думаю, что доказательными помощниками являются отличными инструментами. Кроме того, они также используются в формальной проверке компьютерных программ, что является интересной и трудовой специализацией самостоятельно.

Я инженер-инженер, а также математик, обучение. После завершения моего бакалавра в ЕЭ, я перешел на математику и, наконец, получил в нем заработанную докторскую степень. Я не скажу, что я особенно яркий ребенок. Однако я всегда нашел математику легко и, следовательно, скучно. Однако благодаря моему отцу даже в очень раннем возрасте (около восьми или девяти) я знал, что там гораздо больше математики, чем моя школа. Поэтому я пережил это.

Я также вывел свою самооценку от того, чтобы быть хорошим в математике (да, разрушения, как я, существуют). Я, вероятно, все еще делаю.

Поскольку я постепенно делал все меньше и меньше математики, к тому времени, когда я закончил свою среднюю школу, я был несколько боится этого. Моя ситуация была бы очень такая же, как у вас в моем первом или втором году бакалавриата, что было очень плохо для моей самооценки. Затем я начал мою редукцию в математике - в значительной степени самостоятельно изучать, а также посредством аудита курсов, которые я посещал за счет моей регулярной учебной программы ЕЭ. EE, во всяком случае, была прогулка торта для меня. Но математика оказалась очень жесткой гайкой, чтобы взломать.

Я продолжил свои математические исследования после колледжа, зачисленные в программу по математике, и после долгого, тяжелой и разочаровывающей борьбы сделали докторскую степень доктора.

Я не знаю, на какую область математики вы смотрите. Но я не буду предлагать никаких онлайн-ресурсов или гостевых лекций, чтобы получить вступление в математику. Такие вещи дают вам только иллюзию понимания. Вы будете иметь , чтобы забрать книгу. Вы будете иметь , чтобы забрать ручку. И вы будете иметь начать писать. И вы тоже узнаете трудный путь, только трудный путь. Если у вас есть кто-то, чтобы обсудить вещи с, отлично! Остальное трудностями в безвестности.

Чтобы начать с, поговорите с кем-то, чтобы получить первую пару книг, подходящих для вас. Отдых вы можете понять себя.

Я не могу поверить, что никто другой не упоминает об этом, но вы, вероятно, переусердствуете, если хотите изучить прикладное обучение машины.Тебе лучше почистить чистить линейную алгебру и базовую компьютерную науку.Есть несколько отличных специализаций на Coursera - в частности, машинное обучение и математика для треков машинного обучения (он говорит, что есть стоимость, но вы можете аудить каждый из курсов индивидуально бесплатно - имеется около 8 из них между двумя специализациями);Специализация глубокой обучения Эндрю НГ (5 курсов) также фантастической.Затем подпишитесь на Kaggle и примените то, что вы изучаете.Я лично понимаю желание узнать, как вывести математические доказательства с помощью строгости, но никто не платит, чтобы сделать это в производстве.Вы лучше на самом деле изучать обучение машины.

Я борюсь с упражнениями в течение очень долгое время, и это действительно расстраивает. Я могу легко разобраться с любым видом доказательств, которые я видел раньше (например, как только я увидел доказательство рецидива, я стал довольно хорошо, доказывая их). Мои проблемы начинаются, когда я сталкиваюсь с необычный вопрос. Я чувствую, что я запоминаю доказательства, а не Узнайте, как доказать.

Так что вы знаете, как читать доказательства, но вы обнаружите, что эти могут быть сложными. Я думаю, что существует несколько вещей, которые актуальны.

Одним из них заключается в том, что различия между способностью, требуемыми различными математическими учебниками, является экспоненциальным, а не линейным. Я видел книги под названием «Введение в X», которые намного сложнее, чем книги под названием «Advanced Y». Авторы имеют в виду разные зрители, а уровни сложности соответственно отличаются.

Во-вторых, это может быть, просто когда вы получите более знакомые с концепциями и доказательствами в определенной области, они станут проще. Поскольку некоторые другие ответы указывают, доказательства часто оставляют шаги, которые автор думает, будет очевиден для их предполагаемой аудитории. Никто из нас не ожидает доказательства, чтобы указать, что два плюс два равны четыре. Некоторые вещи, которые один читатель находит полностью загадочно, похожи на 2 + 2= 4 $ для других читателей. Это не значит, что книга или статья не для вас. Если вы можете работать через недостающие шаги, вы получите более глубокое понимание предмета, и после того, как вы сделаете это несколько раз, то, что было сложно, станет легче. (Доказательство в книге, которая немного слишком жесткая, похожа на упражнение.)

В-третьих, я понимаю, если вы не хотите смотреть на доказательство на два часа, но я думаю, что в этот период вы можете узнать много. То, что вы делаете за это время, думают по разным интерпретациям концепций и шагов и возможных способов добиться от одного шага к другому, и думая о том, что имели в виду автор автор. Это процесс обучения, и я думаю, что это помогает одному понять другие вещи легче, позже.

Я делаю много самоуправления у субъектов, которые мне незнакомы. Иногда я использую два или три книги для одного предмета, потому что то, что оставлено в одной книге, будет объяснена более четко в другом. Иногда я нахожу, что я должен идти и читать книги по другим предметам, потому что автор предположил, что их читатели будут иметь определенный фон - и у меня его нет. Это не обязательно означает, что я прочитал всю книгу на другой предмет. Иногда я просто достаточно читал, чтобы я мог понять книгу, которую я действительно хочу понять. Это не плохая практика. Я в конечном итоге изучаю вещи, которые я не был заинтересован в обучении, но это оказывается полезным позже.

(может быть, все это кажется очевидно, но, надеюсь, какой-то комментарий здесь помогает кому-то.)

Похоже, ваша проблема заключается в том, что вам не хватает опыта с логическими рассуждениями в целом. Тот факт, что вы можете легко доказать похожие теоремы, адаптируя доказательство того, что вы видели раньше, показывает, что у вас нет проблем с пониманием доказательств. Но я подозреваю, что вы никогда не изучали правильную логику первого порядка, что является необходимым ингредиентом в реальных математических рассуждениях. Как только вы узнаете дедуктивную систему для FOL (для которой я рекомендую Fitch-Style), на самом деле она становится легко справиться с произвольными областями математики, даже если они совершенно новые. Тем не менее, есть адапфронт, что примерно половина усилий, которые вам нужно вставить, чтобы узнать новый язык программирования. Поэтому я оставляю вас, чтобы решить, попробовать ли или нет.

Независимо от обучения следующим, вам также нужен источник для практики, и для этого я рекомендую Как доказать это Даниэлем Виллером. Это научит вас немного логическим рассуждениям, и это дает вам много аккуратных и интересных вещей, чтобы доказать.

Лицензировано под: CC-BY-SA с атрибуция

Не связан с cs.stackexchange