Показать, что неравенство проводится для всех положительных целых чисел

Question

$ a_1= 2, a_2= 9, a_n= 2a_ {n-1} + 3A_ {n-2} $ для $ n>= 3 $

показать $ a_n <3 ^ n $ для всех положительных целых чисел n

Базовый чехол: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ true

Гипотеза: $ a_k <= 3 ^ k $ для $ k \ epsilon \ mathbb {n {n} $ , показать $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

Начните:

$ a_k <= 3 ^ k $ подразумевает $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $

по определению: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3A_ {k-1} $

$ 2A_K + 3A_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3A_k <= 3 ^ {k + 1} $

Потому что $ 3A_ {k-1}= 2a_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3A_ {k-3} $

$ 3A_ {k-1} $ всегда будет меньше, чем $ a_k $ потому, что $ 2A_ {K-2} + 3A_ {k-3} $ всегда меньше, чем $ 3A_ {k-2} $ < / span>

Так, потому что $ a_ {k + 1} <= 3A_K $ и $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $ затем $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ который доказывает $ a_n <= 3 ^ n $ для всех n

Моя доказательство легит?

Answer 1

Мы не собираемся доказать, что $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ потому что это не так: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

---

У нас также нет $ a_k <3 ^ k $ для всех $ K $ , Поскольку $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . Это, вероятно, опечатка.

---

Давайте докажем, по индукции, что для всех натуральных $ K $ У нас есть $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

У нас есть что $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

Предположим, что $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ и $ a_ { k-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ . Или вы можете предположить, что $ a_t \ leq 3 ^ t $ для всех $ t . < / P >.

тогда $$ \ begin {align} a_k &= 2a_ {k-1} + 3A_ {k-2} \\ & \ leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \ end {align} $$

Следовательно,

, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

по индукции, для всех натуральных $ k $ У нас есть, что $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ .