لماذا لا تتطلب قطرات الحصول على حد؟

Question

عندما نحدد المبالغ اللانهائية، فإننا نقوم بذلك عن طريق أخذ الحد الأقصى مثل $ I $ يذهب إلى اللانهاية.على سبيل المثال، نحن ننظر إلى $ \ lim_ {n \ ignarrow \ infty} \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ ، ثم نقول ذلكهذا يتلاشى وليس لديه مبلغ.

عندما نقوم بالتخصيف، نكرر أكثر من قائمة لا حصر لها أثناء فهرسة كل عنصر قائمة برقم طبيعي، ثم تحدث عن النتيجة.لماذا يمكننا أن نفعل هذا بدلا من الاضطرار إلى الاستدعاء حدود؟

بنفس الطريقة، هل سيكون على ما يرام تعيين قيمة إلى $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ مع القيمةتسلسل لا حصر له؟

Answer 1

قد تتطلب بعض حجج قطرات قيودا لتكون قادرة على أن تكون مسمار أسفل جميع التفاصيل (على سبيل المثال، إذا كانت تتضمن مبلغ لا حصر له، أو التوسع العشري اللانهائي، وهو مجرد مجموع متقارف لا حصر له نوع معين)، لكنها لا تتطلب حدود بشكل عام.

حجة قطرية الأكثر شعبية تثبت أن $ | \ mathbb {n} | \ NEQ | \ mathbb {r} | $ . اعتمادا على كيفية رأيته، قد يؤدي حل بعض التفاصيل إلى حدود الحدود بسبب طبيعة $ \ mathbb {r} $ . لذلك دعونا نلقي نظرة على مثال منفصل دائم للتخلص بدلا من ذلك:

نظرية $ | \ mathbb {n} | \ NEQ | \ {0، 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

نأخذ $ \ {0، 1 \} ^ \ mathbb {n} $ أن تكون مجموعة من جميع التسلسلات اللانهائية للأشهر والأصفار (يمكنك أيضا فكر في الأمر كمساحة وظيفة $ \ mathbb {n} \ to \ {0،1 \} $ ). لذلك على سبيل المثال، يمكن أن يكون لدينا تسلسل $ a= (0، 1، 0، 1، 0، 1، 0، 1، \ cdots) $ مثل ذلك < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ a_ {2i}= 0 $ و $ a_ {2i + 1}= 1 $ .

لأن هذه حجة قطرية، ننتقل عبر التناقض. نحن نفترض أولا أنه من الممكن تعداد جميع عناصر $ \ {0، 1 \} ^ \ mathbb n $ عبر بعض الوظائف $ f $ ، بحيث بالنسبة لجميع $ i \ geq 0 $ ، $ f (i) $ هو تسلسل لا حصر له من 0s و 1s.

سنقوم ببناء تسلسل لانهائي صريح لا يظهر في صورة $ f $ ، مما يثبت أنه لا يوجد مثل $ f $ يمكن أن تعداد جميع التسلسلات اللانهائية من 0s و 1s، مما يعني أن $ | \ mathbb n | \ NEQ | \ {0،1 \} ^ \ mathbb n | $ كما هو مطلوب:

$$ a_i \ trianglq 1 - f (i) _i

والآن يمكننا أن نرى على الفور من خلال البناء أنه لكل $ i \ geq 0 $ ، $ a \ neq f (1) $ ، منذ إذا كان $ a= f (i) $ ثم لكل $ K $ < / span>، $ a_k= f (i) _k $ ، ولكن على وجه الخصوص $ k= i $ لدينا $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ blacksquare $

---

هذا البناء بوضوح لا ينطوي على أي حدود - كل الكائنات منفصلة. الإثبات الكامل المكافئ خصيصا ل $ \ mathbb r $ قد تنطوي على حد أو دليل (سهل وتلقائي) على التقارب لبناء الرقم الحقيقي $ $ ، ولكن لا يوجد شيء سريع بشكل خاص حول هذه الخطوة.