Perché la diazionalità non richiede un limite?

Question

Quando quantificiamo somme infinite, lo facciamo prendendo il limite come $ i $ va a infinito.Ad esempio, guardiamo a $ \ LIM_ {N \ Right Dankow \ Infty} \ sum_ {n \ in \ mathbbs {n}} n $ , e poi lo diciamoQuesta diverge e non ha una somma.

Quando facciamo la diagonale, iterazioniamo su un elenco infinito durante l'indicizzazione dell'elemento di elenco da un numero naturale, e poi parla del risultato.Perché possiamo farlo invece di dover richiamare i limiti?

Allo stesso modo, sarebbe bene assegnare un valore a $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ con il valoreuna sequenza infinita?

Answer 1

Alcuni argomenti di diagonalizzazione potrebbero richiedere limiti per essere in grado di inchiodare tutti i dettagli (ad esempio se coinvolgono una somma infinita o un'espansione decimale infinita, che è formalmente solo una somma convergente infinita di a certo tipo), ma non richiedono limiti in generale.

L'argomento di diagonalizzazione più popolare dimostra che $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ mathbb {r} | $ . A seconda di come hai visto questo, risolvendo alcuni dei dettagli potrebbe finendo per richiedere limiti a causa della natura di $ \ mathbb {r} $ . Quindi guardiamo ad un esempio decretico di diagonalizzazione invece:

teorema $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

Prendiamo $ \ {0, 1 \} ^ \ \ mathbbb {n} $ per essere il set di tutte le sequenze infinite di quelle e zeri (puoi anche Pensaci come lo spazio della funzione $ \ mathbb {n} \ to \ {0,1 \} $ ). Ad esempio, potremmo avere le sequenze $ a= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \ cdots) $ tale < Span class="Math-Container"> $ A_ {2I}= 0 $ e $ a_ {2i + 1}= 1 $ . Poiché questo è un argomento di diagonalizzazione, procediamo attraverso la contraddizione. Presuiamo per la prima volta che è possibile enumerare tutti gli elementi di $ \ {0, 1 \} ^ \ \ {0, 1 \} ^ \ \ MathBB N $ tramite alcune funzioni $ f $ , in modo che per tutti $ i \ geq 0 $ , $ f (i) $ è una sequenza infinita di 0s e 1s.

Costruiremo una sequenza infinita esplicita che non si presenta nell'immagine di $ f $ , che dimostra che nessuna classe $ f $ può elencare tutte le sequenze infinite di 0s e 1s, il che significa che $ | \ MathBB N | \ neq | \ {0,1 \} ^ \ mathbbn n | $ come desiderato:

$$ A_I \ TriangleQ 1 - f (i) _i $$

E ora possiamo vedere immediatamente la costruzione che per ogni $ i \ geq 0 $ , $ a \ neq f (i) $ , poiché se $ a= f (i) $ quindi per tutti $ k $ < / span>, $ a_k= f (i) _k $ , ma in particolare per $ k= I $ Abbiamo $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ blacksquare $

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.

Questa costruzione chiaramente non comporta limiti: tutti gli oggetti sono discreti. La prova completa equivalente specificamente per $ \ MathBB R $ potrebbe comportare un limite o una prova (facile e automatica) di convergenza per la costruzione del numero reale $ A $ , ma non c'è niente di particolarmente perspicace su quel passo.