为什么对角化需要限制？

Question

当我们量化无限的ums时，我们通过将限制作为 $ i $ 转到无限度来这样做。例如，我们查看 $ \ lim_ {n \ lightarrow \ infty} \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ ，然后我们这么说这一分歧并且没有总和。

当我们进行对角化时，我们通过自然数字索引每个列表项的无限列表迭代，然后谈谈结果。为什么我们可以这样做而不是必须调用限制？

以相同的方式将一个值分配给 $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ 以值存在无限序列？

Answer 1

一些对角化参数可能需要限制能够钉在于所有细节（例如，如果它们涉及无限的总和，或无限的十进制扩展，这正式只是一个无限的融合总和某种类型），但它们不需要限制。

最流行的对角化参数证明 $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ mathbb {r} | $ 。根据您的看法，解决其中一些细节最终需要限制，因为 $ \ mathbb {r} $ 。所以让我们看一下对角线化的截然不同的例子：

定理 $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0，1 \} ^ \ mathbb {n} | $

我们使用 $ \ {0，1 \} ^ \ mathbb {n} $ 是所有无限序列的集合和零（您也可以将其视为函数空间 $ \ mathbb {n} \ to \ {0,1 \} $ ）。例如，我们可以拥有序列 $ a=（0,1,0,1，0,1,0,1，\ cdots）$ 这样的<跨越类=“math-container”> $ a_ {2i}= 0 $ 和 $ a_ {2i + 1}= 1 $ 。

因为这是一个对角化参数，我们通过矛盾进行。我们首先假设可以通过一些函数 $ \ {0,1 \} ^ \ mathbb n $ 的所有元素> $ f $ ，为所有 $ i \ geq 0 $ ， $ f（i）$ 是0s和1s的无限序列。

我们将构建一个显式无限序列，它不会在 $ f $ 的图像中，这证明了没有这样的 $ f $ 可以枚举所有0s和1s的无限序列，这意味着 $ | \ mathbb n | \ neq | \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ 根据需要：

$$ a_i \ triangleq 1 - f（i）_i $$

现在我们可以通过构造立即看到每个 $ i \ geq 0 $ ， $ a \ neq f （i）$ ，自If $ a= f（i）$ 然后所有 $ k $ < / span>， $ a_k= f（i）_k $ ，但特别是对于 $ k= i $ 我们有 $ a_i= 1 - f（i）_i \ neq f（i）_i $ 。 $ \ blacksquare $

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这种结构显然不涉及任何限制 - 所有对象都是离散的。专门针对 $ \ MathBB r $ 可能涉及限制或（简易自动）的收敛证明，用于建设实数 $ a $ ，但没有什么特别介绍这一步骤。