¿Por qué la diagonalización no requiere tomar un límite?

Question

Cuando cuantificamos sumas infinitas, lo hacemos al tomar el límite como $ i $ va al infinito.Por ejemplo, nos fijamos en $ \ lim_ {n \ rightadow \ infty} \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n {/ span>, y luego decimos queEsto diverge y no tiene una suma.

Cuando hacemos diagonalización, le itan a una lista infinita mientras indexamos cada elemento de la lista por un número natural, y luego hable sobre el resultado.¿Por qué podemos hacer esto en lugar de tener que invocar límites?

De la misma manera, ¿estaría bien asignar un valor a $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ con el valor siendouna secuencia infinita?

Answer 1

Algunos argumentos de diagonalización pueden requerir límites para poder clavarlos todos los detalles (por ejemplo, si involucran una suma infinita, o una expansión decimal infinita, que es formalmente una suma convergente infinita de un Ciertamente tipo), pero no requieren límites en general.

El argumento de diagonalización más popular demuestra que $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ mathbb {r} | $ . Dependiendo de cómo ha visto esto, resolviendo algunos de los detalles podría terminar requiriendo límites debido a la naturaleza de $ \ mathbb {r} $ . Así que veamos un ejemplo decididamente discreto de diagonalización en su lugar:

Theorem $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

Tomamos $ \ {0, 1 \} \ \ mathbb {n} $ para ser el conjunto de todas las secuencias infinitas de las y los ceros (también puede Piense en ello como el espacio de la función $ \ mathbb {n} \ a \ {0,1 \} $ ). Así, por ejemplo, podríamos tener las secuencias $ a= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \ cdots) $ tal que < Span Class="Math-contenedor"> $ A_ {2i}= 0 $ y $ a_ {2i + 1}= 1 $ .

Dado que este es un argumento de diagonalización, procedemos a través de la contradicción. Primero asumimos que es posible enumerar todos los elementos de $ \ {0, 1 \ \ ^ \ mathbb n $ a través de alguna función $ f $ , para que para todos $ i \ geq 0 $ , $ f (i) $ es una secuencia infinita de 0s y 1s.

Construiremos una secuencia infinita explícita que no se presenta en la imagen de $ f $ , que no demuestra que no es así $ f $ puede enumerar todas las secuencias infinitas de 0s y 1s, lo que significa que $ | \ mathbb n | \ neq | \ \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ como desee:

$$ A_I \ triangleq 1 - f (i) _i $$

y ahora podemos ver de inmediato la construcción que para cada $ i \ geq 0 $ , $ a \ neq f (i) $ , desde si $ a= f (i) $ luego para todos $ k $ < / span>, $ a_k= f (i) _k $ , pero en particular para $ k= i $ Tenemos $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ blacksquare $

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Esta construcción claramente no implica ningún límite: todos los objetos son discretos. La prueba completa equivalente específicamente para $ \ mathbb r $ puede implicar un límite o una prueba de convergencia (fácil y automática) para la construcción del número real $ A $ , pero no hay nada particularmente ideal con respecto a ese paso.