Por que a diagonalização não requer um limite?

Question

Quando quantificamos somas infinitas, fazemos isso tomando o limite como $ i $ vai para o infinito.Por exemplo, olhamos para $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ e, em seguida, dizemos queIsso diverge e não tem uma soma.

Quando fazemos diagonalização, iterarmos em uma lista infinita durante a indexação de cada item de lista por um número natural e falamos sobre o resultado.Por que podemos fazer isso em vez de ter que invocar limites?

da mesma forma, seria bom atribuir um valor para $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ com o valor sendouma sequência infinita?

Answer 1

Alguns argumentos de diagonalização podem exigir que os limites possam ser capazes de prender todos os detalhes (por exemplo, se eles envolverem uma soma infinita, ou uma expansão infinita decimal, que é formalmente apenas uma soma infinita convergente de um certo tipo), mas eles não exigem limites em geral.

O argumento de diagonalização mais popular prova que $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ mathbb {r} | $ . Dependendo de como você viu isso, resolvendo alguns dos detalhes pode acabar exigindo limites por causa da natureza da $ \ mathbb {r} $ . Então, vamos olhar para um exemplo decididamente discreto de diagonalização:

Teorem $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

nós tomamos $ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} $ para ser o conjunto de todas as sequências infinitas de uns e zeros (você também pode Pense nisso como o espaço de função $ \ mathbb {n} \ \ {0,1 \} $ ). Então, por exemplo, poderíamos ter as sequências $ a= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \ CDOts) $ tal que < span class="contêiner matemática"> $ a_ {2i}= 0 $ e $ a_ {2i + 1}= 1 $ .

Como este é um argumento de diagonalização, procedemos via contradição. Primeiro assumimos que é possível enumerar todos os elementos da $ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb n $ através de alguma função $ F $ , de modo que para todos $ i \ Geq 0 $ , $ f (i) $ é uma sequência infinita de 0s e 1s.

Vamos construir uma sequência infinita explícita que não aparece na imagem da $ F $ , que prova que nenhum dessas $ F $ pode enumerar todas as seqüências infinitas de 0s e 1s, o que significa que $ | \ mathbb n | \ neq | \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ conforme desejado:

$$ a_i \ triangleq 1 - f (i) _i $$

e agora podemos ver imediatamente pela construção que para cada $ i \ Geq 0 $ , $ a \ neq f (i) $ , desde se $ a= f (i) $ então para todos $ k $ < / span>, $ a_k= f (i) _k $ , mas em particular para $ k= i $ Temos $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ blacksquare $

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Esta construção claramente não envolve quaisquer limites - todos os objetos são discretos. A prova completa equivalente especificamente para $ \ mathbb R $ pode envolver um limite ou uma prova de convergência (fácil e automática) para a construção do número real $ a $ , mas não há nada particularmente perspicaz sobre esse passo.