封闭和普遍量化

Question

我一直在尝试如何在Scala中实施教会编码的数据类型。看来它需要rank-n类型，因为您需要一流 const 类型的函数 forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

但是，我得以对成对进行编码：

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

对于列表，我能够编码 cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

但是，空列表更有问题，我无法让Scala编译器统一类型。

您可以定义零，以便给定上述定义以下编译吗？

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Answer 1

感谢马克·哈拉（Mark Harrah）完成了此解决方案。诀窍是 Function1 在标准库中没有以足够的方式定义。

这个问题中我的“封闭”特征实际上是函子之间的自然转换。这是对“函数”概念的概括。

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

功能 a -> b 然后，应该成为这种特征的专业化，这是Scala类型类别的两个内肢之间的自然转换。

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] 是将每种类型映射到的函数 A.

这是我们的列表类型：

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

这里， Endo 只是将映射到本身映射到本身的函数类型的类型（一个）（一个） 函数).

type Endo[A] = A ->: A

和 Fold 是可以折叠列表的功能类型：

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

最后，这是我们的列表构造函数：

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

一个警告是需要将（a->：b）明确转换为（a => b）以帮助Scala的类型系统。因此，一旦创建的列表实际上折叠清单仍然很冗长，而且很乏味。这是比较的同等哈斯克尔：

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Haskell版本中的构建和折叠是无噪音的：

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0