Chiusure e quantificazione universale

Question

ho cercato di capire come implementare i tipi di dati Chiesa-codificati in Scala. Sembra che richiede tipi di rango n poiché si avrebbe bisogno di una funzione di prima classe const di tipo forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

Tuttavia, ero in grado di codificare le coppie nel seguente modo:

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

Per le liste, sono stato in grado di codificare cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

Tuttavia, la lista vuota è più problematico e io non sono stato in grado di ottenere il compilatore Scala di unificare i tipi.

Si può definire pari a zero, in modo che, data la definizione di cui sopra, i seguenti compilazioni?

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Answer 1

Grazie a Mark Harrah per il completamento di questa soluzione. Il trucco è che Function1 nelle librerie standard non è definito in modo abbastanza generale.

Il mio tratto "chiusura" in questione è in realtà una trasformazione naturale tra funtori. Questa è una generalizzazione del concetto di "funzione".

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

Una funzione a -> b quindi dovrebbe essere una specializzazione di questa caratteristica, una trasformazione naturale tra due endofunctors sulla categoria di tipi di Scala.

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] è un funtore che associa ogni tipo di A.

E qui è il nostro tipo di elenco:

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

Qui, Endo è solo un alias per il tipo di funzioni che mappano un tipo su se stesso (un endofunction ).

type Endo[A] = A ->: A

E Fold è il tipo di funzioni che possono piegare un elenco:

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

E poi finalmente, ecco i nostri lista costruttori:

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

Un avvertimento è la necessità di convertire in modo esplicito (A ->: B) (A => B) al sistema di tipi di aiuto di Scala lungo. Quindi è ancora terribilmente prolisso e noioso per piegare in realtà una lista una volta creato. Ecco l'equivalente Haskell per il confronto:

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Lista costruzione e pieghevole nella versione Haskell è terso e privo di rumore:

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0