Fechamentos e quantificação universal

Question

Eu tenho tentado descobrir como implementar tipos de dados codificados pela igreja em Scala. Parece que ele requer tipos de classificação-n, pois você precisaria de uma primeira classe const função do tipo forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

No entanto, pude codificar pares assim:

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

Para listas, pude codificar cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

No entanto, a lista vazia é mais problemática e não consegui fazer com que o compilador Scala unifique os tipos.

Você pode definir nulo, de modo que, dada a definição acima, as seguintes compilam?

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Answer 1

Obrigado a Mark Harrah por concluir esta solução. O truque é que Function1 Nas bibliotecas padrão não é definido de maneira geral o suficiente.

Meu traço de "fechamento" na questão é realmente uma transformação natural entre os funções. Esta é uma generalização do conceito de "função".

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

Uma função a -> b Então deve ser uma especialização dessa característica, uma transformação natural entre dois endofunctos na categoria de tipos de Scala.

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] é um functor que mapeia todo tipo de A.

E aqui está o nosso tipo de lista:

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

Aqui, Endo é apenas um pseudônimo para o tipo de funções que mapeiam um tipo em si (um endofunção).

type Endo[A] = A ->: A

E Fold são o tipo de funções que podem dobrar uma lista:

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

E então, finalmente, aqui estão nossos construtores de lista:

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

Uma ressalva é a necessidade de converter explicitamente (a ->: b) para (a => b) para ajudar o sistema de tipos de Scala. Portanto, ainda é terrivelmente detalhado e tedioso dobrar uma lista uma vez criada. Aqui está o equivalente Haskell para comparação:

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

A construção da lista e a dobra na versão Haskell é concisa e sem ruído:

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0