Verneinung verschachtelter Quantifizierer

Question

Das Problem ist:

$$ existiert x forall y (x ge y) $$

Mit einer Domäne aller echten positiven Ganzzahlen.

Die Negation ist:

$$ forall x existiert y (x <y) $$

Also, wenn $ y = x + 1 $, ist die Negation wahr.

Das bedeutet, dass die Negation der Negation (dh das ursprüngliche Problem) falsch ist.

Meine Frage ist, dass, wenn das ursprüngliche Problem $ ist, x forall y (x ge y) $ existiert, warum kann ich dann nicht $ x = y $ nehmen und das Problem wahr beweisen?

Answer 1

Ich werde mit Ihrer letzten Frage beginnen (in den Kommentaren). nämlich "Warum erfüllt x = y das anfängliche Problem nicht"?

Die Antwort liegt in den Quantifizierern. Lesen Sie von links nach rechts. Es beginnt mit "Es existiert" X. Wählen Sie also ein X in Ihrem Kopf. Sagen Sie x = 5. Wir können Y hier nicht auswählen, weil es noch keinen Wert hat und wir jetzt einen Wert für x auswählen müssen. Lesen Sie nun den nächsten Quantifizierer, der "für alle y" liest. Hoppla. Wir können nicht für alle y sagen, weil wir Y = X bereits festgelegt haben.

Wenn Sie nach einer Lösung suchen, die die ursprüngliche Formel erfüllt, sollte sie die Form "x = (eine positive Ganzzahl)" haben, wobei Y überhaupt nicht beteiligt ist, wie es a ist gebunden variabel (im Gegensatz zu einem frei Variable, die wir wählen können).

In der Formel heißt es jedoch "Es gibt eine (einzelne und spezifische) positive Ganzzahl x, die alle Ganzzahlen weniger als oder gleich diesem oder gleich sind", was eindeutig falsch ist nicht Weniger als und gleichermaßen gleich (was die negierte Formel sagt!)