Négation de quantificateurs imbriqués

Question

Le problème est:

$$ \ existe x \ forall y (x \ ge y) $$

Avec un domaine de tous les vrais entiers positifs.

La négation est:

$$ \ forall x \ existe y (x

, si $ y = x + 1 $, la négation est vrai.

Cela signifie que la négation de la négation (à savoir le problème d'origine) est fausse.

Ma question est, que si le problème est d'origine \ $ existe x \ forall y (x \ ge y) $, pourquoi je ne peux pas prendre $ x = y $ et prouver le vrai problème?

Answer 1

Je vais commencer par votre dernière question (dans les commentaires); à savoir: « Pourquoi ne pas x = y satisfaire le problème initial ».

La réponse est dans les quantificateurs. De gauche à droite. Il commence par « il existe » X. Alors, choisissez un X dans votre tête. Dites X = 5. Nous ne pouvons pas choisir Y ici parce qu'il n'a pas encore une valeur et nous devons choisir une valeur pour X MAINTENANT. Maintenant, passez à lire le prochain quantificateurs qui se lit « pour tous les Y ». Oups. Nous ne pouvons pas dire pour tous Y parce que nous fixons déjà Y = X.

En fait, si vous allez chercher une solution qui satisfait à la formule originale, il devrait être de la forme « X = (certains entier positif) », avec Y ne participe pas du tout, car il est un bound variable (par opposition à être libre variables que l'on peut choisir).

Cependant, la formule dit « il y a un (unique, et spécifique) entier positif X qui tous les entiers sont inférieurs ou égaux à ce » qui est évidemment faux car étant donné un entier positif X, X + 1 est un nombre entier positif qui est pas ni moins égal à (ce qui est ce que la formule niée dit!).