Warum funktionieren die Regeln der Sequenzrechnung NICHT links und NICHT rechts?

Question

Die Regeln, die ich in Betracht ziehe, sind $\frac{ eg A, \ \Gamma \implies \Delta}{\Gamma \implies \Delta, \ A} ( eg L)$ und $\frac{\Gamma \implies \Delta , \ eg A}{A, \ \Gamma \implies \Delta} ( eg R)$

Ich versuche, mich mit einigen der Regeln der Folgenrechnung vertraut zu machen, und obwohl ich glaube, die meisten davon zu verstehen, fällt es mir schwer, die oben gezeigten Negationsregeln intuitiv anzuwenden.

Die Intuition, die Linke als Konjunktion von Literalen und die Rechte als Disjunktion von Literalen zu betrachten, scheint zu brechen, und ich weiß nicht, wie ich mir diese Regeln erklären soll.

Wie kann man solche Regeln sinnvoll betrachten und verstehen?

Answer 1

Sie können zunächst vereinfachte Versionen der Regeln in Betracht ziehen und die Intuition aufbauen, indem Sie diese Fälle berücksichtigen. Zum Beispiel,

$$ frac { neg a, b impliziert c} {b impliziert c, a} ( neg l) $$

kann als angeben, dass $ ( neg a kege b) rightarrow c $ $ b rightarrow (c vee a) $ impliziert.

Wenn es also der Fall ist, dass $ neg a $ und $ b $ true impliziert, dass $ c $ wahr ist, ist dann Wenn nur $ B $ wahr ist, ist entweder $ c $ wahr (unabhängig von $ neg a $) oder $ a $ ist wahr, denn ansonsten $ neg a $ wäre wahr, was mit $ b $ wahr ist Machen Sie $ c $ true.

Ein ähnliches Spiel kann mit dem anderen Fall gespielt werden.

Answer 2

Wenn Sie Ihre Intuition anwenden, lautet die Prämisse von $( eg L)$:unter den Hypothesen $\Gamma$ und unter der Annahme, dass $A$ falsch ist, dann gilt eine der Schlussfolgerungen $\Delta$.Was kann ich daraus schließen, wenn ich nur $\Gamma$ kenne?

• Möglicherweise gilt $\Delta$.
• Wenn $\Delta$ nicht gilt, kann es nur sein, dass die Annahme, dass $A$ falsch ist, nicht erfüllt ist.Mit anderen Worten: $ eg ( eg A)$ ist wahr, was bedeutet, dass $A$ wahr ist.

Alles in allem erhalten wir aus der Prämisse von $( eg L)$, dass $\Gamma$ $\Delta$ oder $A$ mit sich bringt.Das ist die Schlussfolgerung von $( eg L).

Ebenso gilt mit $( eg R)$:Unter den Hypothesen $\Gamma$ gilt entweder eine der Schlussfolgerungen $\Delta$ oder $ eg A$.Nehmen wir nun an, dass wir zusätzlich zu $\Gamma$ wissen, dass $A$ wahr ist.Dann kann unter den Schlussfolgerungen $\Delta, eg A$ das Element $ eg A$ nicht wahr sein, da es nicht sowohl $A$ als auch $ eg A$ geben kann (Mitte ausgeschlossen).Es muss also eine (oder mehrere) Schlussfolgerungen in $\Delta$ sein, die gelten.Alles in allem ergeben $\Gamma$ und $A$ zusammen $\Delta$, was die Schlussfolgerung von $( eg R)$ ist.

Sie werden feststellen, dass $( eg L)$ auf der ausgeschlossenen Mitte basiert.Diese Regel gilt nicht in der intuitionistischen Logik, wo nur weil $ eg A$ zu einem Widerspruch führt, nicht bedeutet, dass man $A$ beweisen kann.$( eg R)$ funktioniert in intuitionistischer Logik, jedoch möglicherweise nicht in einer Fuzzy-Logik.