Perché il calcolo dei sequenti non ha lasciato e non governa giusto lavoro?

Question

Le regole sto considerando sono $ \ frac {\ neg A, \ \ Gamma \ implica \ Delta} {\ Gamma \ implica \ Delta, \ A} (\ neg L) $ e $ \ frac {\ Gamma \ implica \ Delta, \ \ neg A} {A, \ \ Gamma \ implica \ Delta} (\ neg R) $

Sto cercando di ottenere la mia testa intorno alcune delle regole sequent calcolo, e mentre mi sembra di capire la maggior parte di loro, io sto lottando per applicare qualsiasi intuizione per le regole di negazione indicate sopra.

L'intuizione di guardare come una congiunzione di letterali e il diritto come una disgiunzione di letterali sinistra sembra scomporsi, e sono poco chiaro come spiegare queste regole per me stesso.

Che cosa è un modo ragionevole per visualizzare tali norme e mettere una certa comprensione su di loro?

Answer 1

Si potrebbe iniziare prendendo in considerazione le versioni semplificate delle regole e costruire l'intuizione di considerare questi casi. Per esempio,

$$ \ frac {\ neg A, \ B \ implica C} {B \ implica C, \ A} (\ neg L) $$

può essere interpretato come affermando che $ (\ neg A \ wedge B) \ Rightarrow C $ implica $ \ Rightarrow (C \ vee A) $ B.

Quindi, se è il caso che $ \ neg A $ e $ B $ sono vere implica $ C $ è vero, poi se solo $ B $ è vero, o $ C $ è vero (indipendentemente da $ \ neg a $) o $ a $ è vero, perché altrimenti $ \ neg a $ sarebbe vero, che in combinazione con $ B $ sia vero renderebbe $ C $ true.

Un gioco simile può essere giocato con l'altro caso.

Answer 2

Applicando il vostro intuito, la premessa di $ (\ neg L) $ è: sotto le ipotesi $ \ Gamma $, e assumendo $ A $ è sbagliato, allora una delle conclusioni $ \ Delta $ detiene. Quindi, se io conosco solo $ \ Gamma $, cosa posso concludere?

• Possibilmente $ \ Delta $ detiene.
• Se $ \ Delta $ non regge, può essere solo che l'ipotesi che $ A $ è sbagliato non è soddisfatta. In altre parole, $ \ neg (\ neg A) $ è vero, il che significa che $ A $ è vero.

Tutto sommato, dalla premessa di $ (\ neg L) $, otteniamo che $ \ Gamma $ comporta $ \ Delta $ o $ A $. Questa è la conclusione di $ (\ neg L).

Allo stesso modo, con $ (\ neg R) $: sotto l'ipotesi $ \ Gamma $, uno dei due conslusions $ \ Delta $ detiene, o $ \ neg A $ stive. Ora supponiamo che in aggiunta a $ \ Gamma $ sappiamo che $ A $ è vero. Quindi tra le conclusioni $ \ Delta, \ neg A $, l'articolo $ \ neg A $ non può essere vero, perché non si può avere sia $ A $ e $ \ neg A $ (terzo escluso). Quindi deve essere uno (o più) delle conclusioni in $ \ Delta $ che contiene. Tutto sommato, $ \ Gamma $ e $ A $ insieme comportano $ \ Delta $, che è la conclusione di $ (\ neg R) $.

Noterete che $ (\ neg L) $ si basa sul terzo escluso. Questa regola non vale in logica intuizionista, dove solo perchè $ \ neg A $ porta ad una contraddizione non significa che si può dimostrare $ A $. $ (\ Neg R) $ lavora in logica intuizionista, ma potrebbe non in una logica fuzzy.