Zeigen Sie, dass es für jede Sprache eine härtere Sprache existiert

Question

Ich kam auf dieses Problem, das ich nicht herausfinden konnte ... für jede Sprache $ A $ , soll eine Sprache $ B $ so, dass:

$$ A \ leq_t b $$

aber:

$$ B \ nicht \ leq_t a $$

Wenn es sich um $ a \ leq_tb $ und $ b \ leq_t a $ , ist dies einfachDa können wir einfach $ B:=bar {a} $ , aber für die oben genannten konnte ich nichts an nichts denken.Jede Hilfe?

Answer 1

Es gibt ein paar Möglichkeiten, dies zu nähern.

Sie können ein Zählargument verwenden, um anzuzeigen, dass für jeden $ A $ dort vorhanden ist $ B $ so dass $ B \ NLEQ_T A $ . Lassen Sie $ l_a={b | B \ le_t a \} $ Bezeichnen Sie den Satz aller Sprachen, die reduzierbar sind, um $ A $ . Zeigen Sie diesen $ F: l_a \ Rightarrow \ mathbb {n} $ das kartiert Sprachen $ b \ in l_a $ auf $ n $ so, dass $ m_n $ eine Verringerung von $ B $ bis $ A $ ist eine Injektion, und schlussfolgert, dass es eine Sprache außerhalb von gibt $ L_a $ . Als Nächstes möchten Sie es mit $ A $ vergleichbar machen. Wir können eine solche Sprache mit dem Join-Operator erhalten:

$ A \ SQCUP B={0w | W \ in A \ \ \ cup \ {1w | W \ in B \} $ . .

Ich überlasse es Ihnen, zu zeigen, dass $ A \ SQCUP B $ die kleinste obere Grenze für $ A ist, B $ , dh $ a, b \ le_t a \ sqcup b $ und zusätzlich für jeden $ l $ so, dass $ a, b \ le_t l $ wir haben $ a \ sqcup b \ le l $ < / span> (Sie kümmern sich nur für den ersteren). Zeigen Sie, dass, wenn $ B \ NLEQ_T A $ dann $ A \ SQCUP B \ NLEQ_T A $ .

Eine andere Möglichkeit, dies zu beweisen, ist es, den Jump Operator zu verwenden. Wir müssen den Vorstellung von Oracle-Maschinen vorstellen und dann zeigen, dass $ B=Links \ {\ Links (m ^ a, w \ Right) | \ text {$ m ^ a $ hält auf $ W $} \ RECHTS \} $ ist eine streng härtere Sprache. Der Beweis ist identisch mit der Unentschlossenheit des standardmäßigen Halterungsproblems, nur dass wir jetzt die stärkere Eigenschaft zeigen, dass keine Maschine mit Oracle-Zugriff auf $ A $ entscheiden kann, die $ B $ .

Sie können eine solche Sprache auch direkt über die Diagonalisierung erstellen. Definieren Sie $ B=Links \ {N | M_N (n) \ NOTIN A \ RECHTS \} $ . Wir haben $ B $ so konstruiert, dass jede berechenbare Funktion $ m_n $ keine Reduzierung von $ B $ bis $ A $ auf mindestens einem Eingang (speziell die Kodierung der Reduktion). Sie können jetzt den Join-Operator verwenden, um sie vergleichbar zu machen.