Montrez que pour chaque langue, il existe une langue plus difficile

Question

Je suis tombé sur ce problème que je ne pouvais pas comprendre ... pour chaque langue $ A $ , il est censé être une langue $ B $ tel que:

$$ A \ leq_t b $$

mais:

$$ B \ non \ Leq_t a $$

si c'est $ a \ leq_tb $ et $ b \ leq_t a $ , c'est facilePuisque nous pouvons simplement laisser $ b:=bar {a} $ , mais pour ce qui précède, je ne pouvais penser à rien.Toute aide?

Answer 1

Il y a quelques façons d'aborder cela.

Vous pouvez utiliser un argument de comptage pour montrer que pour chaque $ a $ il existe $ B $ telle que $ b \ nleq_t a $ . Laissez $ l_a={b | B \ le_t A \} $ désigne l'ensemble de toutes les langues réductibles à $ A $ . Montrez que $ F: l_a \ RightARrow \ mathbb {n} $ qui mappe les langues $ b \ in l_a $ à $ n $ telle que $ m_n $ est une réduction de $ B $ à $ a $ est une injection et concluait qu'il existe une langue en dehors de $ L_a $ . Ensuite, vous voulez le rendre comparable à $ A $ . Nous pouvons obtenir une telle langue avec l'opérateur de jointure:

$ A \ sqcup b={0w | w \ in a \} \ tasse \ {1w | w \ in b \} $

Je vous laisse à vous de montrer que $ a \ sqcup b $ est la limite la moins élevée de $ a, B $ , c'est-à-dire $ A, b \ le_t a \ sqcup b $ et en outre pour chaque $ l $ tel que $ a, b \ le_t l $ nous avons $ A \ sqcup b \ le d $ < / span> (vous vous souciez que de l'ancien). Montrer que si $ b \ nleq_t a $ alors $ a \ sqcup b \ nleq_t a $ .

Une autre façon de prouver qu'il s'agit d'utiliser le opérateur de saut . Nous devons introduire la notion de machines Oracle , puis montrez que $ b=gaucher \ {\ gauche (m ^ a, w \ droite) | \ Text {$ M ^ a $ d'arrêt sur $ w $} \ droite \} $ est une langue strictement plus difficile. La preuve est identique à la non-détériorie du problème d'arrêt standard, seulement que nous montrons maintenant la propriété plus forte qu'aucune machine avec un accès oracle à $ a $ peut décider $ B $ .

Vous pouvez également construire directement une telle langue via la diagonalisation. Définir $ B=Gauche \ {n | M_n (n) \ notin a \ droite \} $ . Nous avons construit $ B $ telle que toute fonction calculable $ m_n $ échoue à une réduction de $ B $ à $ A $ sur au moins une entrée (spécifiquement, le codage de la réduction). Vous pouvez maintenant utiliser l'opérateur de jointure pour les faire comparable.