¿Por qué funcionan el cálculo secuente no izquierdo y no las reglas correctas?

Question

Las reglas que estoy considerando son $ frac { neg a, gamma implica delta} { gamma implica delta, a} ( neg l) $ y $ frac { gamma implica delta , neg a} {a, gamma implica delta} ( neg r) $

Estoy tratando de entender algunas de las reglas secuenciales de cálculo, y aunque creo que entiendo la mayoría de ellas, estoy luchando por aplicar cualquier intuición a las reglas de negación que se muestran anteriormente.

La intuición de ver a la izquierda como una conjunción de literales y la derecha como disyunción de literales parece romperse, y no estoy claro cómo explicarme estas reglas.

¿Cuál es una forma sensata de ver tales reglas y ponerlas en comprensión?

Answer 1

Puede comenzar considerando versiones simplificadas de las reglas y construir intuición considerando esos casos. Por ejemplo,

$$ frac { neg a, b implica c} {b implica c, a} ( neg l) $$

puede interpretarse como indicando que $ ( neg a wedge b) rectarrow c $ implica $ b rectarrow (c vee a) $.

Entonces, si es el caso de que $ neg A $ y $ B $ son verdaderos, implica que $ C $ es verdadero, después Si solo $ B $ sea verdadero, $ C $ es verdadero (independientemente de $ neg A $) o $ A $ es verdadero, por lo demás $ neg A $ sería verdadero, que combinado con $ B $ ser verdadero Hacer $ C $ verdadero.

Se puede jugar un juego similar con el otro caso.

Answer 2

Aplicando su intuición, la premisa de $ ( neg L) $ es: Bajo las hipótesis $ gamma $, y suponiendo que $ a $ sea incorrecto, entonces una de las conclusiones $ delta $ tiene. Entonces, si solo sé $ gamma $, ¿qué puedo concluir?

• Posiblemente $ delta $ Holds.
• Si $ delta $ no se mantiene, solo puede ser que la suposición de que $ A $ está mal no se cumple. En otras palabras, $ neg ( neg a) $ es verdadero, lo que significa que $ A $ es verdadero.

En general, por la premisa de $ ( neg L) $, obtenemos ese $ gamma $ implica $ delta $ o $ A $. Esa es la conclusión de $ ( neg L).

Del mismo modo, con $ ( neg r) $: bajo las hipótesis $ gamma $, cualquiera de las conslusiones $ delta $ holds, o $ neg a $ holds. Ahora suponga que, además de $ gamma $, sabemos que $ A $ es cierto. Luego, entre las conclusiones $ delta, neg a $, el artículo $ neg no puede ser verdadero, porque no puede tener $ A $ y $ neg A $ (excluido en el medio). Por lo tanto, debe ser una (o más) conclusiones en $ delta $ que se mantiene. En general, $ gamma $ y $ a $ juntos implican $ delta $, que es la conclusión de $ ( neg r) $.

Notarás que $ ( neg L) $ se basa en el medio excluido. Esta regla no se mantiene en lógica intuitionista, donde solo porque $ neg A $ conduce a una contradicción no significa que pueda probar $ A $. $ ( neg r) $ funciona en lógica intuicionista pero podría no en una lógica difusa.