Transformación de Fourier rápida inversa simultánea de dos funciones reales

Question

Estoy tratando de calcular la transformación inversa de Fourier de dos funciones reales con una sola IFFT. La mejor y más directa explicación que he encontrado hasta ahora es aquí, En donde dice:

Use el hecho de que el FFT es lineal y forme la suma de la primera transformación más i, el segundo. Tiene dos vectores, X1 y X2, con transformaciones discretas de Fourier X1 y X2 respectivamente. Después

x1 = re [idft [x1 + i x2]

y

x2 = im [idft [x1 + i x2]].

El problema es que no entiendo de dónde proviene el parámetro 'I'. Cualquier pista sobre esto sería muy apreciada.

Gracias por adelantado.

EDITAR:

Después de hacer algunos experimentos, finalmente lo hice funcionar, pero ahora estoy más confundido que antes, ya que no funcionaba como esperaba y tuve que usar algo de imaginación para descubrir las fórmulas correctas.

Acabo de inventar una nueva matriz compleja donde:

Re[n] = X1Re[n] - X2Im[n]
Im[n] = X2Re[n] + X1Im[n]

Después de hacer un IFFT en él x1 = re y x2 = im, ¿no sería correcto expresarlo así?

x1 = Re[ IDFT[ X1 - i X2 ] ]
x2 = Im[ IDFT[ X2 + i X1 ] ].

Answer 1

¿Te preguntas qué representa el 'yo'? En este caso, creo que 'I' se refiere a SQRT (-1), el vector de unidad imaginario.

Después:

Re[ IDFT[ X1 + i X2 ] ]

será la parte 'real' de esa transformación (cualquier cosa sin un 'i') y

Im[ IDFT[ X1 + i X2 ] ]

será la parte 'imaginaria' de esa transformación (cualquier cosa multiplicada por un 'i').

Es posible que haya entendido mal tu pregunta y esta respuesta es demasiado simplista; Si es así, ningún insulto estaba destinado a su inteligencia, simplemente te entendí mal.

Answer 2

Si desea ignorar las matemáticas de las variables complejas, multiplicar por I es solo notación de cómo intercambia y escala un par de vectores para producir otro par de vectores. Y los vectores complejos X1 y X2 pueden considerarse solo como pares de vectores de valor real (con una relación "compleja" bajo las transformaciones de interés). El intercambio y la escala hacen que los dos vectores de componentes sean más fácilmente separables, después de un poco de aritmética y transformaciones, en el vector de interés valorado real.