одновременное обратное быстрое преобразование Фурье двух реальных функций

Question

Я пытаюсь рассчитать обратное преобразование Фурье двух реальных функций с одним IFFT. Лучшее и самое простое объяснение, которое я нашел до сих пор здесь, где это говорит:

Используйте тот факт, что FFT является линейным и образуйте сумму первого преобразования, плюс I, времена второй. У вас есть два вектора, x1 и x2, с дискретными преобразованием Фурье X1 и X2 соответственно. затем

x1 = re [idft [x1 + i x2]

а также

x2 = im [idft [x1 + i x2]].

Проблема в том, что я не получаю, откуда взялся параметр «i». Любой намек на это будет высоко ценится.

Заранее спасибо.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

После некоторых экспериментов я наконец -то заставил его работать, но теперь я более запутался, чем раньше, так как это не сработало, как я ожидал, и должен был использовать какое -то воображение, чтобы выяснить правильные формулы.

Я только что придумал новый сложный массив, где:

Re[n] = X1Re[n] - X2Im[n]
Im[n] = X2Re[n] + X1Im[n]

После того, как он сделал IFFT на нем x1 = re и x2 = im, не было бы правильно выразить это так?

x1 = Re[ IDFT[ X1 - i X2 ] ]
x2 = Im[ IDFT[ X2 + i X1 ] ].

Answer 1

Вам интересно, что представляет «я»? В этом случае я считаю, что «я» имеет в виду SQRT (-1), воображаемого вектора единиц.

Затем:

Re[ IDFT[ X1 + i X2 ] ]

будет «реальной» частью этого преобразования (все без «я») и

Im[ IDFT[ X1 + i X2 ] ]

будет «воображаемая» часть этого преобразования (все, что умножается на «я»).

Возможно, я неправильно понял ваш вопрос, и этот ответ слишком упрощен; Если это так, не было никакого оскорбления для вашего интеллекта, я просто неправильно понял вас.

Answer 2

Если вы хотите игнорировать математику сложных переменных, умножение на I просто нотация на то, как вы обменяете и масштабируете пару векторов, чтобы произвести еще одну пару векторов. И каждая из сложных векторов x1 и x2 можно считать просто пары реальных векторов (с «сложными» отношениями под преобразованием интересов). Обращение и шкала позволяет двум компонентным векторам более легко отделимыми после некоторых арифметических и преобразований в реальном ценном векторе.