¿Es $ Even-SAT $ $ NP $ -Hard?

Question

Estoy buscando un $ np $ --shardness a prueba de la siguiente variante de $ sáb $ :

$$ Incluso sábado={\ langle \ phi \ rangle: \ phi \ texto {tiene un número par de asignaciones satisfactorias} \} $$

He estado jugando con gadgets por un tiempo, pero no he podido construir una reducción.Aún así, siento que debería haber uno.¡AYUDA!

Answer 1

$ \ textsf {evensat} $ es $ \ oplus p $ -complete (pronunciado "paridad $ P $ "). La forma de ver esto es (i) que es el complemento de $ \ textsf {odsat} $ , que es "la" la "Clase de lapso natural=" Contenedor "> $ \ oplus p $ -complete Problema de la misma manera $ \ textsf {sáb} $ es" The "Natural $ \ Mathcal {NP} $ -complete problem, y (ii) $ \ oplus p $ está cerrado bajo complemento.

El teorema valiante-vazirani proporciona una reducción aleatoria de cocción (es decir, una reducción de muchos-una) con una probabilidad de error de un solo lado de $ \ mathcal {o} (1 / n ) $ de $ \ textsf {sáb} $ a $ \ textsf {evensat} $ . Es decir, $ \ textsf {evensat} $ es $ \ mathcal {np} $ -hard bajo aleatorizado reducciones. Esta es la razón por la cual el teorema valiani-vazirani se establece generalmente como $ \ mathcal {np} \ subestexq \ mathcal {rp} ^ {\ oplus p} $ .

Tenemos $ \ mathcal {rp} ^ {\ oplus p} \ subespeteq p ^ {\ # p} $ , el teorema de SO VV es un poco más apretado que Lo que obtendría del teorema de Toda.

Es poco probable que $ \ textsf {evensat} $ es $ \ mathcal {np} $ -Complete, porque entonces la jerarquía polinomial se derrumba en el primer nivel, $ ph= np $ . Es una pregunta abierta si $ np $ y $ \ oplus p $ son comparables, hasta ahora hay Sólo oracle evidencia de que son incomparables. (No sé si generalmente se conjetura que valientes-Vazirani se puedan derandomizar desde $ \ mathcal {np} \ subesteceq \ mathcal {rp} ^ {\ oplus p ^ {\ oplus p} $ < / span> a $ \ mathcal {np} \ subesteceq \ mathcal {p} ^ {\ oplus p} $ . En ese caso, desde $ p ^ {\ oplus p}=oplus p $ , tendríamos $ \ mathcal {np} \ subespeteq \ oplus p $ . Si leí correctamente [1], entonces es no generalmente con conjetura, ya que colapsaría la jerarquía polinomial)

[1] Dell, Holger, et al. "¿La probabilidad de aislamiento de Valiant-Vazirani mejora?" " Complejidad computacional 22.2 (2013): 345-383.

Answer 2

Se sabe que $ np \ subconjunto p ^ {\ # p} $ Según el teorema de Toda, pero en este momento su pregunta "NP Hardnes Of incluso Sat" esUn problema abierto. Sabemos que $ np \ subconjunto bpp ^ {mod_2 sáb} $