$ €-SAT $ $ NP $ -Hard?

Question

Sto cercando una classe $ NP $ -Hardness Proof per la seguente variante di $ sab $ :

$$ Anche-sat={\ Langle \ Phi \ Rangle: \ Phi \ text {ha un numero pari di incarichi soddisfacenti} \} $$

Ho giocato con i gadget per un po ', ma non sono stato in grado di costruire una riduzione.Tuttavia, mi sento che ci dovrebbe essere uno.Aiuto!

Answer 1

$ \ textsf {evesat} $ è $ \ oplus p $ -Complete (pronunciato "parità $ p $ "). Il modo per vedere questo è (i) che è il complemento di $ \ textsf {oddsat} $ , che è "la" classe naturale $ \ OPLUS P $ -Completo Problema nello stesso modo $ \ textsf {sat} $ è" la "classe" naturale $ \ Mathcal {NP} $ PROBLEMACOMPLETO Problema e (ii) $ \ oplus p $ è chiuso sotto Complemento. .

Il teorema Valiant-Vazirani fornisce una riduzione del cuoco randomizzato (cioè una riduzione di molti-one) con una probabilità di errore unilaterale di $ \ Mathcal {o} (1 / N ) $ da $ \ textsf {sat} $ a $ \ textsf {evesat} $ . Cioè, $ \ textsf {evensat} $ è $ \ mathcal {np} $ -Hard sotto randomizzato riduzioni. Questo è il motivo per cui il teorema Valiani-Vazirani di solito è indicato come $ \ mathcal {np} \ sottomessoq \ mathcal {rp} ^ {\ oplus p} $ . abbiamo $ \ Mathcal {rp} ^ {\ oplus p} \ semeteTQ p ^ {\ # p} $ , quindi il teorema di VV è un po 'più stretto di Cosa otterresti dal teorema di Toda.

È improbabile che $ \ textsf {evensat} $ è $ \ mathcal {np} $ -Completo, perché la gerarchia polinomiale crolla al primo livello, $ ph= np $ . È una domanda aperta se $ np $ e $ \ oplus p $ sono comparabili, finora c'è Solo prove Oracle che sono incomparabili. (Non so se è generalmente congetturato che Valiant-Vazirani può essere debbandomizzato da $ \ Mathcal {NP} \ SOTETETQ \ MathCal {rp} ^ {\ oplus p} $ < / span> a $ \ Mathcal {NP} \ SOTETETQ \ MathCal {P} ^ {\ oplus p} $ . In tal caso, dal $ p ^ {\ oplus p}=oplus p $ , avremmo $ \ mathcal {np} \ sottomessoq \ oplus p $ . Se leggo [1] correttamente, allora è non generalmente congetturato, poiché comprenderà la gerarchia polinomiale)

[1] Dell, Holger, et al. "La probabilità di isolamento di Valiant-Vazirani è migliorabile?" Complessità computazionale 22.2 (2013): 345-383.

Answer 2

è noto che $ np \ sottoinsomet p ^ {\ # p} $ Secondo il teorema di Toda ma in questo momento la tua domanda "np hardnes di persino sabato" èun problema aperto. Sappiamo che $ np \ sottoinsieme BPP ^ {MOD_2 SAT} $