Est $ MÊME-SAT $-SAT $ NP $ -HARD?

Question

Je recherche un $ np $ -Hardness épreuve pour la variante suivante de $ SAT $ :

$$ Même-sat={\ lger \ phi \ rangs: \ phi \ texte {a un nombre pair de missions satisfaisantes} \} $$

J'ai joué avec des gadgets pendant un moment, mais je n'ai pas été en mesure de construire une réduction.Néanmoins, je me sens comme s'il y en a un.Aide!

Answer 1

$ \ textsf {evensat} $ est $ \ oplus p $ -commlete (prononcé " $ p $ "). La façon de voir c'est (i) que c'est le complément de $ \ textsf {oddsat} $ , qui est "la" classe "naturelle $ \ oplus p $ -Complet -Complet de la même manière $ \ textsf {sat} $ est" La "classe" naturelle $ \ mathcal {np} $ -Commlet Problème et (ii) $ \ oplus p $ est fermé sous complément.

Le théorème Valiant-Vazirani donne une réduction de cuisson randomisée (c'est-à-dire une réduction de plusieurs-un) avec une probabilité d'erreur unilatérale de $ \ mathcal {o} (1 / n ) $ de $ \ textsf {sat} $ to $ \ textsf {evensat} $ . C'est-à-dire, $ \ textsf {evensat} $ est $ \ mathcal {np} $ -hard sous randomisé Réductions. C'est pourquoi le théorème de Valiani-Vazirani est généralement indiqué comme $ \ MATHCAL {NP} \ SOUSETEQ \ MATHCAL {RP} ^ {\ OPLUS P} $

nous avons $ \ mathcal {rp} \ \ \ \ oplus p} \ sous-asetq p ^ {\ # p ^ {\ # p} , donc le théorème de VV est un peu plus serré que Ce que vous recevriez du théorème de Toda.

Il est peu probable que $ \ textsf {evensat} $ est $ \ mathcal {np} $ -Complete, car la hiérarchie polynomiale s'effondre jusqu'au premier niveau, $ pH= np $ . C'est une question ouverte si $ np $ $ et $ \ oplus p $ sont comparables, jusqu'à présent il y a Seules les preuves d'Oracle qu'ils sont incomparables. (Je ne sais pas s'il est généralement conjecturé que Valiant-Vazirani puisse être dérommé de $ \ mathcal {np} \ sous -éréeq \ mathcal {rp} ^ {\ oplus p} $ < / span> à $ \ mathcal {np} \ sous -éréq \ mathcal {p} ^ {\ oplus p} $ . Dans ce cas, depuis $ p ^ {\ oplus p}=oplus p $ , nous aurions $ \ mathcal {np} \ sous -éréq \ oplus p $ . Si je lis correctement [1], il est pas généralement conjecturé, puisqu'il réduirait la hiérarchie polynomiale)

[1] Dell, Holger, et al. "La probabilité d'isolation de Valiant-Vazirani est-elle améliorable?" Complexité de calcul 22.2 (2013): 345-383.

Answer 2

On sait que $ n \ sous-ensemble p ^ {\ # p ^ {\ # p ^ {\ \ # p ^ {\ \ # p ^ {\ \ # p ^ Selon le théorème de TODA, mais maintenant votre question "NP Hardnes de même Sam" estun problème ouvert. Nous savons que $ NP \ sous-ensemble BPP ^ {mod_2 sam} $