¿Por qué las pruebas matemáticas son tan difíciles?

Question

Soy ingeniero eléctrico y tratando de hacer una transición al aprendizaje automático.Leí en varios artículos que tengo que aprender estructuras de datos y algoritmos, antes de esto, tengo que aprender sobre pruebas matemáticas.Comencé a estudiarlo por mi cuenta usando el material disponible en el OCW del MIT, mientras que yo entendía los conceptos de inducción y bien ordenados, etc.

He estado luchando con los ejercicios durante mucho tiempo y es realmente frustrante.Puedo lidiar fácilmente con cualquier tipo de pruebas que vi antes (por ejemplo, una vez que vi la prueba de una pregunta de recurrencia, me convertí en bastante bueno para demostrarlos).Mis problemas comienzan cuando me enfrento a una pregunta inusual.Siento que estoy memorizando las pruebas en lugar de aprender a demostrar.

Hay alguna forma (o cualquier recursos) que puedan mejorar mis habilidades de demostración de una manera que cada vez que vea una pregunta inusual (como el tipo de fichas y los azulejos de ajedrez de las preguntas) no tengo que mirarlas por2 horas antes de rendirse?

Answer 1

Siento que estoy memorizando las pruebas en lugar de aprender a probar

Usted no puede aprender "Cómo probar". "Prueba" no es un proceso mecánico, sino más bien un creativo donde tiene que hacerlo inventar una nueva técnica para resolver un problema dado. Un matemático profesional podría pasar toda su vida intentando probar una declaración dada y nunca tener éxito.

Puedo lidiar fácilmente con cualquier tipo de pruebas que vi antes (por ejemplo, una vez que vi la prueba de una pregunta de recurrencia, me convirtió en bastante bueno para probarlos). Mis problemas comienzan cuando me enfrento a una pregunta inusual.

eso es normal. Cualquier curso de "pruebas" de matemáticas no está diseñado para enseñarle cómo tomar un problema arbitrario que nunca antes ha visto y podríamos resolverlo (ya que nadie, ni siquiera los mejores profesores matemáticos pueden hacerlo). Más bien, sus objetivos de aprendizaje son

1. Aprenda a saber cómo "leer" pruebas y juzgar su corrección

2. Aprenda a "escribir" abajo una prueba en el idioma matemático derecho

3. Aprenda sobre las "técnicas" de prueba conocidas "y cómo aplicarlos

Si está trabajando en un problema nuevo y desconocido, es normal que no pueda resolverlo. Sin embargo, Saber y haber memorizado otras técnicas de prueba puede ayudarlo. A menudo, pruebas implican combinar una nueva idea con las técnicas de prueba conocidas existentes. Cuanto más, y las más variadas, las pruebas que ya conocen son, mejor será la posibilidad de poder resolver el problema dado.

Usted está en el camino correcto. Simplemente debe seguir estudiando técnicas de prueba. Los ejercicios que estás haciendo son buenos. No te preocupes si te atascas. A medida que se obtiene más experiencia y su "caja de herramientas" de las técnicas crece, podrá resolver ejercicios que sean menos "por igual" los anteriores que ha visto.

Answer 2

A medida que otros autores han mencionado, en parte porque las pruebas son inherentemente difíciles, pero también en parte debido al hecho de que las pruebas no se escriben con el propósito de enseñar , inclusoEn la mayoría de los libros de texto.Más bien, la mayoría de las pruebas están escritas de una especie de obligación, como una especie de argumento de fuga;Sin presentar pruebas en absoluto, se considera inaceptable, pero escribirlas en detalles agotadoras quemarían al autor, así como en peligro al lector que se pierde en el bosque.Por lo tanto, la mayoría de las pruebas son sucursales a propósito, dejando muchos puntos únicamente para que el lector se conecte a sí mismo.Mientras que algunas personas encuentran este un ejercicio útil, muchos lectores como usted y yo lo encuentran, lo que hace que las matemáticas sean innecesariamente desafiantes.Esta también es la razón por la cual la pedagogía en el aula en un entorno universitario es indispensable para el aprendizaje matemático profesional, ya que las herramientas de diálogo pueden completar el espacio en blanco de las pruebas de libros de texto.

Answer 3

Ciertamente puedo recomendar el libro de G. Polya's, cómo resolverlo . Es un clásico estándar, que no se puede perder. Hay un libro más nuevo Cómo leer y hacer pruebas: una introducción a los procesos de pensamiento matemáticos por Daniel Solow que puede ser más accesible.

En cualquier caso, hacer pruebas, es completamente antinatural para los humanos. Es una disciplina que requiere un pensamiento cuidadoso que normalmente no usamos. Estamos acostumbrados a hacer muchas suposiciones para superar nuestros días y nuestras vidas. Si tuviéramos que justificar el primero de ellos, no pudimos salir de la cama. Una prueba matemática elimina las suposiciones y vive solo lo que puede mostrar de forma clara y inequívoca.

Tuve el problema similar con los problemas sobre las identidades trigonométricas. Tratar de llegar desde el principio hasta el final es fácil cuando hay un método conocido y aprendido. Las identidades pueden requerir múltiples pasos en direcciones desconocidas sin mucho sentido de la dirección. Las pruebas son un poco más fáciles, ya que los métodos lógicos son bastante limitados y conocidos (si lees los libros). Mantener en ello.

Answer 4

Me gusta la respuesta de Tom: no hay bala mágica, pero solo necesita continuar haciendo ejercicios y, gradualmente, desarrollará una mejor intuición y saber cómo atacar un problema.

En cuanto a los recursos, es posible que le guste el libro de G. POLYA cómo resolverlo.Parece una El artículo de Wikipedia ofrece una visión general agradable y algo detallada.Básicamente, el libro le ofrecerá una estrategia o métodos para tratar las declaraciones matemáticas y sus pruebas.

Answer 5

¿Por qué las pruebas matemáticas son tan difíciles? ... Tengo que aprender estructuras de datos y algoritmos,

¡Mi conjetura es que también querrá aprender sobre el espacio y la complejidad del tiempo de los algoritmos, tal como se cuantifica en la notación de Big O. La complejidad del tiempo, en particular, insinúa por qué las pruebas son difíciles. Si le prometí que hay una prueba de en la mayoría de las longitudes $ n $ de una declaración dada, ¿cómo lo encontrarías? En teoría, podría pasar por todas las pruebas de longitud $ \ le n $ hasta que encuentre uno, lo que tomaría tiempo exponencial, digamos $ O (ne ^ {cn}) $ (he incluido un factor de $ n $ para el tiempo de lectura). Eso es demasiado ineficiente para nuestros propósitos, a menos que $ n $ es muy pequeño. Puede haber un algoritmo mucho mejor, pero nadie ha encontrado un general particularmente eficiente. Es por eso que demostrar las cosas sigue siendo un ejercicio "creativo", por lo cual queremos decir "No sabemos en los términos de Pseudocode, cómo funciona dichos trabajos".

Hay alguna forma (o cualquier recursos) que puedan mejorar mis habilidades de demostración de una manera que cada vez que vea una pregunta inusual (como el tipo de fichas y los azulejos de ajedrez de las preguntas) no tengo que mirarlas por 2 horas antes de rendirse?

Usted llama a tales preguntas inusuales, sin embargo, sabe qué ejemplos dar. Ese es el quid del problema allí mismo. Es solo "inusual" en su experiencia si no lo ha visto (mucho). Como otras respuestas, tenga en cuenta, simplemente siga aprendiendo más herramientas. Con suerte, entonces deberías poder decir cuáles ayudan con un problema. A juzgar por su elección de ejemplos, el uso de invariantes en pruebas es algo en lo que podría trabajar. No sé qué tan bueno es su gran / pequeña notación de O, pero mencionaré ese tema nuevamente porque a menudo es útil probar los resultados, como las desigualdades o cualquier cosa dependiente de ellos, por ejemplo. Límites (al menos si está destinado a dar un $ \ varepsilon $ - $ \ delta $ prueba ).

Answer 6

Algunas pruebas tienen que ser engorrosas, otras simplemente son incómodas, incluso cuando podrían ser más fáciles, pero el autor no se le ocurrió una forma más elegante de escribirla.Subir con una prueba simple es aún más difícil que entender una prueba y, por lo tanto, muchas pruebas son más complicadas de lo que deberían ser.

No hay consejos generales sobre cómo entender pruebas (elegante o no).Una técnica que puede intentar es refutar la declaración.¿Por qué funciona la prueba?¿Qué pasaría cuando dejes fuera una de las condiciones previas para la prueba?

Answer 7

Si ya eres bastante útil con la programación, es posible que disfrute aprendiendo a usar una asistente de prueba interactivo < / a> como coq o magra. Un asistente de prueba es un lenguaje de programación con un sistema de tipo muy rico en el que es posible expresar una lógica constructiva. Este tipo de idiomas funciona en gran medida en la idea de que hay una analogía directa entre los programas y sus tipos en el lado de la programación, y entre las proposiciones y las pruebas en el lado de la matemática. (Esto se llama el Curry-Howard Isomorphism .)

Un proyecto realmente interesante en estas líneas es la juego de números naturales . El juego es parte de un programa más grande de varios profesores de Imperial College of London para formalizar a todas las matemáticas de pregrado utilizando el asistente de prueba Lean . Al comienzo del juego, se le administra solo los axiomas de Peano de la aritmética: 0 es un número natural, el sucesor de un número natural es un número natural, y el sucesor de cualquier número natural no es igual a sí mismo. Se le permite usar las reglas habituales de la lógica predicada y la inducción. El objetivo del juego es idear pruebas rigurosas y formales de las propiedades de la adición, la multiplicación y alguna teoría del número básico.

Los asistentes de prueba gamifican efectivamente haciendo matemáticas puras: recuerdan las reglas para usted y le brindan comentarios prácticamente en tiempo real. Si está buscando una manera de mejorar sus habilidades para hacer pruebas a través del autoestudio, creo que los asistentes de prueba son excelentes herramientas. Además de eso, también se utilizan en la verificación formal de programas informáticos, que es una especialización interesante y empleable por derecho propio.

Answer 8

Soy ingeniero eléctrico, así como un matemático por entrenamiento. Después de completar mi licenciatura en EE, cambié a Maths y finalmente obtuve un doctorado en él. No voy a decir que soy un niño particularmente brillante. Sin embargo, siempre he encontrado Matemáticas Fácil y, por consiguiente, aburrido. Sin embargo, gracias a mi papá, incluso a una edad muy temprana (alrededor de ocho o nueve) sabía que hay mucho más para las matemáticas que mi escuela. Así que lo soporté.

También derivé mi autoestima de ser bueno en Matemáticas (Sí, los naufragios como yo existen). Probablemente todavía lo hago.

Como hice progresivamente cada vez menos matemáticas, cuando completé mi escuela secundaria, estaba algo asustada de ello. Mi situación sería mucho lo mismo que el suyo en mi primer o segundo año de pregrado, que fue muy malo para mi autoestima. Luego, comenzé mi reeducación en matemáticas, en gran parte por autoaprendizaje y también a modo de cursos de auditoría, a los que asistí a expensas de mi plan de estudios de EE regular. EE, de todos modos, fue un pastelero para mí. Pero las matemáticas demostraron ser una tuerca muy dura para romper.

Continué mis estudios de matemáticas después de la universidad, se inscribieron en el programa de matemáticas y después de una lucha larga, dura y frustrante completó mi doctorado.

No sé en qué área de matemáticas está mirando. Pero no sugeriré ningún recurso en línea o conferencias invitadas para ingresar a las matemáticas. Tales cosas solo te dan una ilusión de comprensión. Usted lo hará para recoger un libro. Usted tiene para recoger una pluma. Y usted lo hará para comenzar a escribir. Y usted también aprenderá de la manera más difícil, solo de la manera difícil. Si tienes a alguien con quien discutir las cosas, genial! Otra cosa trabaja en la oscuridad.

Para empezar, hable con alguien para obtener el primer par de libros adecuados para usted. Descansar puedes averiguar tu mismo.

Answer 9

No puedo creer que nadie más esté mencionando esto, pero probablemente lo está exagerando si desea aprender el aprendizaje de la máquina aplicado.Usted sería mejor cepillarse en el álgebra lineal y la informática básica.Hay algunas excelentes especializaciones en Coursera, específicamente el aprendizaje de la máquina y las matemáticas para las pistas de aprendizaje de la máquina (dice que existe un costo, pero puede auditar cada uno de los cursos individualmente de forma gratuita, hay alrededor de 8 de ellos en total entre las dos especializaciones);La especialización de aprendizaje profundo de Andrew NG (5 cursos) también es fantástica.Luego, regístrese para Kaggle y aplique lo que está aprendiendo.Entiendo personalmente queriendo saber cómo derivar pruebas matemáticas con rigor, pero nadie le está pagando para que haga eso en la producción.Estás mejor que estás estudiando el aprendizaje de la máquina.

Answer 10

He estado luchando con los ejercicios durante mucho tiempo y es Realmente frustrante. Puedo lidiar fácilmente con cualquier tipo de pruebas que yo visto antes (por ejemplo, una vez que vi la prueba de una pregunta de recurrencia i Se convirtió en bastante bueno para demostrarlos). Mis problemas comienzan cuando me enfrentan a un Pregunta inusual. Siento que estoy memorizando las pruebas en lugar de Aprende a probar.

Entonces, usted sabe cómo leer pruebas, pero estas descubriendo que son difíciles. Creo que probablemente haya algunas cosas que son relevantes.

Una es que las diferencias entre la capacidad requerida por diferentes libros de texto matemáticos son exponenciales, no lineales. He visto libros titulados "Introducción a X" que son mucho más difíciles que los libros titulados "Avanzados Y". Los autores tienen en mente diferentes audiencias, y los niveles de dificultad son correspondientemente diferentes.

Segundo, podría ser que una vez que se familiarice con los conceptos y las pruebas en un área en particular, se volverán más fáciles. Como algunas de las otras respuestas indican, las pruebas a menudo dejan de lado los pasos que el autor cree que sería obvio para su audiencia prevista. Ninguno de nosotros esperaría que una prueba señalara que dos más dos equivalen a cuatro. Algunas cosas que un lector descubre completamente misteriosas son como $ 2 + 2= 4 $ para otros lectores. Eso no significa que el libro o el artículo no sea para usted, sin embargo. Si puede trabajar a través de los pasos que faltan, obtendrá una comprensión más profunda del sujeto, y después de hacerlo varias veces, lo que fue difícil será más fácil. (Una prueba en un libro que es un poco demasiado difícil es como un ejercicio).

Tercero, entiendo si no quiere mirar una prueba durante dos horas, pero creo que durante ese período, puede estar aprendiendo mucho. Lo que está haciendo durante ese tiempo es pensar en diferentes interpretaciones de los conceptos y pasos y posibles formas de obtener un paso a otro, y pensar en qué suposiciones tenían en mente el autor. Ese es un proceso de aprendizaje, y creo que hacer eso ayuda a uno a entender otras cosas más fácilmente, más tarde.

Hago mucho autoaprendizaje en sujetos que no me están familiarizados. A veces uso dos o tres libros para un tema, porque lo que se queda en un libro se explicará más claramente en el otro. A veces me parece que tengo que ir y leer libros sobre otros temas, porque el autor asumió que sus lectores tendrían todos los antecedentes, y no lo tengo. Eso no significa necesariamente, leí el libro completo sobre el otro tema. A veces solo leo lo suficiente para que pueda entender el libro que realmente quiero entender. Esta no es una mala práctica. Terminé aprendiendo cosas que no estaba interesada en aprender, pero que resultan ser útiles más tarde.

(Tal vez todo esto parece obvio, pero con suerte algún comentario aquí sea útil para alguien).

Answer 11

Suena como su problema es que le faltan experiencia con el razonamiento lógico en general. El hecho de que pueda probar los teoremas similares fácilmente adaptando una prueba de que haya visto antes, muestra que no tiene un problema con la comprensión de las pruebas. Pero sospecho que nunca ha aprendido correctamente la lógica de primer orden, que es un ingrediente necesario en el razonamiento matemático real. Una vez que aprenda un sistema deductivo para FOM (para el que recomiendo estilo de Fitch), en realidad se vuelve fácil tratar con las áreas arbitrarias de las matemáticas, incluso si son completamente nuevas. Sin embargo, existe un costo por adelantado, que es aproximadamente la mitad del esfuerzo que necesita para aprender un nuevo lenguaje de programación. Así que te dejo a decidir si probar o no.

Independiente del aprendizaje FOM, también necesita una fuente de práctica, y para eso recomiendo Cómo demostrarlo de Daniel Velleman. Te enseña un poco de razonamiento lógico, y le brinda muchas cosas limpias e interesantes para demostrar.