Cómo entender el cuantificador sin predicación "∀ (λφ. (Φ x m → φ y))"?

Question

Estoy leyendo sobre la incrustación / automatización de las lógicas modales en la lógica de orden superior clásica ( http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/c46.pdf ) y goedels prueba de la existencia de Dios es un ejemplo prominente aquí https://www.isa-afp.org/entries/goedelgod.html (como codificado para Isabelle / Hol). < / p>

Esta incorporación ha incorporado a la igualdad de Leibniz para las personas:

abbreviation mLeibeq :: "μ ⇒ μ ⇒ σ" (infixr "mL=" 90) where "x mL= y ≡ ∀(λφ. (φ x m→ φ y))"

y este tipo de euqalidad se utiliza para el primer axioma ya:

A1a: "[∀(λΦ. P (λx. m¬ (Φ x)) m→ m¬ (P Φ))]"

que se puede escribir sin lambdas como:

A1a: ∀φ[P(¬φ)↔¬P(φ)]

Mi pregunta es: ¿cómo entender la expresión ∀(λφ. (φ x m→ φ y)), porque generalmente tenemos ∀x.P(x)? Es decir. Cuantifier universal espera el argumento (x) y el predicado (P(x)), ¡pero esta expresión contiene nadie sabe qué? ¿Completa la generación completa y el argumento (λφ. (φ x m→ φ y)) o predicado x? ¿Qué se puede omitir aquí, ¿cuál es la convención que se usa aquí?

Answer 1

The $ x $ en $ \ forall x. P (x) $ es no un argumento. Es una variable encuadernada que indica qué variable se acabó la cuantifer.

Comparemos la situación a la integral definitiva, para la concreta solo de $ 0 $ a $ 1 $ . Aquí hay un ejemplo: $$ \ INT_0 ^ 1 x ^ 2 + 3 x \, DX $$ Esta es una forma muy arcaica de escribir expresiones matemáticas a los que les gusta mantenerse a los matemáticos. En general (e ignorando los detalles sobre funciones no integrables), la integral definitiva es en sí misma una función: se necesita una función $ f $ como argumento, como $ f (x)= x ^ 2 + 3x $ y devuelve un número (el área debajo de la curva). Así que simplemente podríamos escribir $ i $ para "integrar desde $ 0 $ a $ 1 $ " y luego la integral de $ f $ es simplemente $$ i (f) $$ (O si desea mantener los límites de integración visibles, escriba $ i_0 ^ 1 (f) $ , pero no lo haré). El argumento $ f $ no necesita ser un símbolo, puede ser una expresión compleja: $$ i (x \ mapsto x ^ 2 + 3 x) $$ Observe cómo " $ dx $ " arriba cambiado a " $ x \ mapsto $ ". En $ \ lambda $ -Calculus Notation le escribiríamos esto como $$ i (\ lambda x. x ^ 2 + 3 x). $$ En la notación arcaica, las personas a veces se sienten incómodas sobre la escritura. $$ \ int_0 ^ 1 f $$ y así terminan siempre mostrando $ dx $ escribiendo $$ \ int_0 ^ 1 f (x) \, dx $$ A pesar de que realmente no hay necesidad de hacerlo, porque $ \ int_0 ^ 1 $ es una función de orden superior que mapea de valor real Funciones a números reales. Si quieres hacer que el matemático tradicional se sienta incómodo, deberías escribir $$ \ int_0 ^ 1 (x \ mapsto x ^ 2 + 3 x) $$ en sus pizarras

Si esto es claro, entonces debería ser fácil ver que el cuantificador universal $ \ forall $ es como la integración, excepto que se necesita un Función proposicional (un mapeo en valores de verdad en lugar de números) y devuelve un valor de verdad . La notación arcaica $$ \ forall x. (x ^ 2 + 3 x> -3) $$ se puede cambiar, al igual que para las integrales, a $$ A (f). $$ Aquí $ a $ es el cuantifier universal, y $ f $ su argumento, que es un mapeo de funciones de un conjunto a los valores de la verdad. Un ejemplo de tal función es $ f (x)= (x ^ 2 + 3 x> -3) $ . Y otra vez, podemos enlinear la expresión compleja para obtener $$ A (\ lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)) $$ Ahora solo reemplace $ a $ con $ \ forall $ para buenos viejos tiempos sake: $$ \ forall (\ lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)). $$ Esto es su capacidad de computadora. La notación es general, por lo que podemos escribir solo $ \ forall f $ en lugar de $ \ forall x. F (x) $ , y expone a $ \ forall $ para lo que es: una función de orden superior Función proposicional a los valores de verdad.