Como entender o quantificador sem previsão " ∀(λφ.(φ x m→ φ y))"?

Question

Eu estou lendo sobre a incorporação de/automação de lógica modal clássica, a lógica de ordem superior (http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/C46.pdf) e Goedels prova da existência de Deus é proeminente exemplo aqui https://www.isa-afp.org/entries/GoedelGod.html (codificados para Isabelle/HOL).

Esta incorporação tem de incorporação, para Leibniz, a igualdade para os indivíduos:

abbreviation mLeibeq :: "μ ⇒ μ ⇒ σ" (infixr "mL=" 90) where "x mL= y ≡ ∀(λφ. (φ x m→ φ y))"

e este tipo de euqality é usado para o primeiro axioma já:

A1a: "[∀(λΦ. P (λx. m¬ (Φ x)) m→ m¬ (P Φ))]"

o que pode ser escrito sem lambdas como:

A1a: ∀φ[P(¬φ)↔¬P(φ)]

A minha pergunta é - como entender a expressão ∀(λφ. (φ x m→ φ y)), porque geralmente temos ∀x.P(x)?I. e.universal quantificador espera que o argumento (x) e predicado (P(x)), mas esta expressão contém ninguém sabe o que?é toda a (λφ. (φ x m→ φ y)) e o argumento x ou Predicado P(x)?O que pode ser omitido aqui, o que é a convenção usada aqui?

Answer 1

O $x$ no $\forall x .P(x)$ é não um argumento.É um variável dependente indicando que a variável quantifer é que vão mais.

Vamos comparar a situação de integral definida, para concretness apenas a partir de $0$ para $1$.Aqui está um exemplo:$$\int_0^1 x^2 + 3 x \, dx$$ Esta é uma maneira arcaica de escrever expressões matemáticas que os matemáticos gostam de ser respeitadas.Em geral (e ignorando detalhes sobre a não-integráveis funções) a integral definida é em si uma função:ele leva uma função $f$ como um argumento, como $f(x) = x^2 + 3x$ e retorna um número (área sob a curva).Assim, podemos simplesmente escrever $I$ para "integrar a partir de $0$ para $1$"e, em seguida, a integral de $f$ é simplesmente $$I(f)$$ (Ou, se você quiser manter a integração limites visíveis escrever $I_0^1(f)$, mas eu não).O argumento $f$ não precisa ser um símbolo, que pode ser uma expressão complexa:$$I(x \mapsto x^2 + 3 x)$$ Observe como "$dx$"acima alterada para "$x \mapsto$".No $\lambda$-cálculo notação que iria escrever isso como $$I(\lambda x .x^2 + 3 x).$$ No arcaico notação pessoas, às vezes, sente-se inseguro sobre como escrever $$\int_0^1 f$$ e assim eles acabam sempre exibindo $dx$ por redação $$\int_0^1 f(x) \, dx$$ apesar de realmente não há necessidade de o fazer, porque $\int_0^1$ é um de ordem superior a função que mapas valor real das funções de números reais.Se você quiser fazer o tradicional matemático se sentir desconfortável, você deve escrever $$\int_0^1 (x \mapsto x^2 + 3 x)$$ em seus quadros

Se este muito é claro, então deve ser fácil ver que o quantificador universal $\forall$ é como integração, exceto que ele tem um função proposicional (um mapeamento em valores de verdade em vez de números) e retorna um valor de verdade.O arcaico notação $$\forall x .(x^2 + 3 x > -3)$$ pode ser alterado, assim como para integrais, para $$A(f).$$ Aqui $A$ é o quantificador universal, e $f$ seu argumento, que é uma função de mapeamento a partir de um conjunto para a verdade de valores.Um exemplo de uma função é $f(x) = (x^2 + 3 x > -3)$.E, novamente, podemos inline expressão complexa para obter $$A(\lambda x .(x^2 + 3 x > -3))$$ Agora é só substituir $A$ com $\forall$ para bons e velhos tempos de amor:$$\forall(\lambda x .(x^2 + 3 x > -3)).$$ Esta sua de como os computadores como ele.A notação é geral, portanto, podemos escrever apenas $\forall f$ em vez de $\forall x .f(x)$, e ele expõe $\forall$ para o que é:um de ordem superior função que mapeia proposicional função para valores de verdade.