كيفية فهم المحدد الكمي بدون إسناد " ∀ ( φ .(φ x m→ φ y))"؟

Question

أنا أقرأ عن تضمين/أتمتة المنطق المشروط في المنطق الكلاسيكي العالي الترتيب (http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/C46.pdf) ودليل جويدل على وجود الله هو المثال البارز هنا https://www.isa-afp.org/entries/GoedelGod.html (كما هو مشفر لـ Isabelle/HOL).

يتضمن هذا التضمين تضمينًا لمساواة لايبنتز للأفراد:

abbreviation mLeibeq :: "μ ⇒ μ ⇒ σ" (infixr "mL=" 90) where "x mL= y ≡ ∀(λφ. (φ x m→ φ y))"

وهذا النوع من المساواة يستخدم للبديهة الأولى بالفعل:

A1a: "[∀(λΦ. P (λx. m¬ (Φ x)) m→ m¬ (P Φ))]"

والتي يمكن كتابتها بدون لامدا على النحو التالي:

A1a: ∀φ[P(¬φ)↔¬P(φ)]

سؤالي هو - كيف أفهم التعبير ∀(λφ. (φ x m→ φ y)), ، لأنه عادة ما يكون لدينا ∀x.P(x)؟أي.المُحدِّد الكمي العالمي يتوقع الوسيطة (x) والمسند (P(x))، ولكن هذا التعبير يحتوي على لا أحد يعرف ماذا؟كامل (λφ. (φ x m→ φ y)) والحجة x أو المسند P(x)؟ما الذي يمكن حذفه هنا، ما هي الاتفاقية المستخدمة هنا؟

Answer 1

ال $x$ في $\للجميع x .ف(س)$ يكون لا حجة.إنها متغير منضم مما يشير إلى المتغير الذي يتراوح نطاقه.

دعونا نقارن الوضع بالتكامل المحدد، للتحديد فقط من $0$ ل $1$.هنا مثال:$$\int_0^1 x^2 + 3 x \, dx$$هذه طريقة قديمة جدًا لكتابة التعبيرات الرياضية التي يحب علماء الرياضيات الالتزام بها.بشكل عام (وتجاهل التفاصيل المتعلقة بالدوال غير القابلة للتكامل) فإن التكامل المحدد هو في حد ذاته دالة:يستغرق وظيفة $و$ كحجة، مثل $f(x) = x^2 + 3x$ وتقوم بإرجاع رقم (المنطقة الموجودة أسفل المنحنى).لذلك يمكننا الكتابة ببساطة $أنا$ ل "التكامل من $0$ ل $1$" ثم تكامل $و$ هو ببساطة$$أنا(و)$$(أو إذا كنت تريد إبقاء حدود التكامل مرئية، فاكتب $I_0^1(و)$, ، لكني لن أفعل).الحجة $و$ ليس من الضروري أن يكون رمزًا، بل يمكن أن يكون تعبيرًا معقدًا:$$I(x \mapsto x^2 + 3 x)$$لاحظ كيف "$دكس$"أعلاه تغير إلى"$x \mapsto$".في $\لامدا$-تدوين حساب التفاضل والتكامل سوف نكتب هذا باسم$$I(\lambda x .س^2 + 3 س).$$في التدوين القديم، يشعر الناس أحيانًا بعدم الارتياح تجاه الكتابة$$\int_0^1 و$$وهكذا ينتهي بهم الأمر إلى العرض دائمًا $دكس$ عن طريق الكتابة$$\int_0^1 f(x) \, dx$$على الرغم من عدم وجود حاجة حقًا للقيام بذلك، لأنه $\int_0^1$ هو وظيفة ذات ترتيب أعلى الذي يعين الوظائف ذات القيمة الحقيقية إلى أرقام حقيقية.إذا كنت تريد أن تجعل عالم الرياضيات التقليدي يشعر بعدم الارتياح، فيجب عليك الكتابة$$\int_0^1 (x \mapsto x^2 + 3 x)$$على ألواح الكتابة الخاصة بهم

إذا كان هذا الأمر واضحًا، فمن السهل أن نرى أن المُحدِّد الكمي العالمي $\للجميع$ يشبه التكامل، إلا أنه يأخذ وظيفة اقتراحية (تعيين واحد إلى قيم الحقيقة بدلاً من الأرقام) وإرجاع a القيمة الحقيقة.التدوين القديم$$\للجميع x .(س^2 + 3 س > -3)$$يمكن تغييرها، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للتكاملات، إلى$$أ(و).$$هنا $أ$ هو المحدد الكمي العالمي، و $و$ حجتها، وهي وظيفة تعيين من مجموعة إلى قيم الحقيقة.مثال على هذه الوظيفة هو $f(x) = (x^2 + 3 x > -3)$.ومرة أخرى، يمكننا تضمين التعبير المعقد للحصول عليه$$A(\lambda x .(س^2 + 3 س > -3))$$الآن فقط استبدل $أ$ مع $\للجميع$ من أجل الزمن الجميل:$$\forall(\lambda x .(س^2 + 3 س > -3)).$$هذه هي الطريقة التي تحبها أجهزة الكمبيوتر.الترميز عام، لذا يمكننا الكتابة فقط $\forall f$ بدلاً من $\للجميع x .و(خ)$, ، ويكشف $\للجميع$ على ما هو عليه:أ أعلى ترتيب وظيفة تقوم بتعيين الوظيفة المقترحة لقيم الحقيقة.