Cómo entender el cuantificador sin predicación "∀ (λφ. (Φ x m → φ y))"?
Pregunta
Estoy leyendo sobre la incrustación / automatización de las lógicas modales en la lógica de orden superior clásica ( http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/c46.pdf ) y goedels prueba de la existencia de Dios es un ejemplo prominente aquí https://www.isa-afp.org/entries/goedelgod.html (como codificado para Isabelle / Hol). < / p>
Esta incorporación ha incorporado a la igualdad de Leibniz para las personas:
abbreviation mLeibeq :: "μ ⇒ μ ⇒ σ" (infixr "mL=" 90) where "x mL= y ≡ ∀(λφ. (φ x m→ φ y))"
y este tipo de euqalidad se utiliza para el primer axioma ya:
A1a: "[∀(λΦ. P (λx. m¬ (Φ x)) m→ m¬ (P Φ))]"
que se puede escribir sin lambdas como:
A1a: ∀φ[P(¬φ)↔¬P(φ)]
Mi pregunta es: ¿cómo entender la expresión ∀(λφ. (φ x m→ φ y))
, porque generalmente tenemos ∀x.P(x)
? Es decir. Cuantifier universal espera el argumento (x
) y el predicado (P(x)
), ¡pero esta expresión contiene nadie sabe qué? ¿Completa la generación completa y el argumento (λφ. (φ x m→ φ y))
o predicado x
? ¿Qué se puede omitir aquí, ¿cuál es la convención que se usa aquí?
Solución
The $ x $ en $ \ forall x. P (x) $ es no un argumento. Es una variable encuadernada que indica qué variable se acabó la cuantifer.
Comparemos la situación a la integral definitiva, para la concreta solo de $ 0 $ a $ 1 $ . Aquí hay un ejemplo:
$$ \ INT_0 ^ 1 x ^ 2 + 3 x \, DX $$
Esta es una forma muy arcaica de escribir expresiones matemáticas a los que les gusta mantenerse a los matemáticos. En general (e ignorando los detalles sobre funciones no integrables), la integral definitiva es en sí misma una función: se necesita una función $ f $ como argumento, como
Si esto es claro, entonces debería ser fácil ver que el cuantificador universal $ \ forall $ es como la integración, excepto que se necesita un Función proposicional (un mapeo en valores de verdad en lugar de números) y devuelve un valor de verdad . La notación arcaica $$ \ forall x. (x ^ 2 + 3 x> -3) $$ se puede cambiar, al igual que para las integrales, a $$ A (f). $$ Aquí $ a $ es el cuantifier universal, y $ f $ su argumento, que es un mapeo de funciones de un conjunto a los valores de la verdad. Un ejemplo de tal función es $ f (x)= (x ^ 2 + 3 x> -3) $ . Y otra vez, podemos enlinear la expresión compleja para obtener $$ A (\ lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)) $$ Ahora solo reemplace $ a $ con $ \ forall $ para buenos viejos tiempos sake: $$ \ forall (\ lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)). $$ Esto es su capacidad de computadora. La notación es general, por lo que podemos escribir solo $ \ forall f $ en lugar de $ \ forall x. F (x) $ , y expone a $ \ forall $ para lo que es: una función de orden superior Función proposicional a los valores de verdad.