Pourquoi l'addition de GF (2 ^ 8) est-elle la même chose que XOR?

Question

Je reçois l'impression que cela a à voir avec une quirk impliquée dans la limitation de 2 ^ 8 ou que je suis mal compris ce que l'ajout peut être dans le contexte d'un champ fini, mais je ne suis pas tout à fait sûr pourquoi il est décritcomme "addition" dans la littérature que j'ai lu mais que le code que je vois implémente avec XOR.

Answer 1

Les champs finis sont généralement décrits sous forme de polynômes sur le champ de base (dans ce cas $ gf (2) $ ) modulo certains polynomiaux irréductibles. Si vous représentez chaque polynôme sous forme de vecteur de coefficients, l'addition de polynômes correspond à l'ajout d'élément d'élément des coefficients, qui dans le cas de $ gf (2) $ , traduit à xor.

Par exemple, supposons que vos éléments de champ soient 1 + x ^ 2 $ et $ x + x ^ 2 + x ^ 5 $ . Leurs représentations binaires sont 101 $ et 100110 $ (LSB est le coefficient de $ 1 $ ). Leur somme est 1 + x + 2x ^ 2 + x ^ 5= 1 + x + x ^ 5 $ (puisque 2 $= 0 $ sur $ gf (2) $ ), dont la représentation binaire est $ 100011 $ . Ceci est le xor de $ 101 $ et 100110 $ .

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