Por que é adição em GF (2 ^ 8) o mesmo que Xor?

Question

Eu tenho a impressão de que tem a ver com algum quirk envolvido com limitação para 2 ^ 8 ou que eu estou entendendo mal o que adição pode estar dentro do contexto de um campo finito, mas não tenho certeza porque é descritocomo 'adição' na literatura, leio, mas o código que vejo implementa com Xor.

Answer 1

Os campos finitos são geralmente descritos como polinômios sobre o campo base (nesta caixa $ gf (2) $ ) Modulo algum polinomial irredutível. Se você representar cada polinômio como um vetor de coeficientes, a adição de polinômios corresponde à adição elementar dos coeficientes, que, no caso de $ gf (2) $ , traduz para xor.

Por exemplo, suponha que seus elementos de campo sejam $ 1 + x ^ 2 $ e $ x + x ^ 2 + x ^ 5 $ . Suas representações binárias são $ 101 $ e $ 100110 $ (LSB é o coeficiente de $ 1 $ ). Sua soma é $ 1 + x + 2x ^ 2 + x ^ 5= 1 + x + x ^ 5 $ (desde a $ 2= 0 $ sobre $ gf (2) $ ), cuja representação binária é $ 100011 $ . Este é o xor de $ 101 $ e $ 100110 $ .