Почему дополнение в GF (2 ^ 8) так же, как Хор?

Question

Я получаю впечатление, что связано с какой-то какой-либо quirk, связанным с ограничением до 2 ^ 8 или что я неправильно понимаю, какое дополнение может быть в контексте конечного поля, но я не совсем уверен, почему это описаноКак «дополнение» в литературе я читаю, но код, который я вижу, реализует его с помощью XOR.

Answer 1

Конечные поля

обычно описываются как полиномы по базовому полю (в данном случае $ GF (2) $ ) Модуло некоторые неприводимые полиномиальные. Если вы представляете каждый многочлен как вектор коэффициентов, то добавление полиномов соответствует добавлению элементарных слоев коэффициентов, которые в случае $ gf (2) $ , переводы к XOR.

Например, предположим, что ваши элементы поля <определенные элементы $ 1 + x ^ 2 $ и $ x + x ^ 2 + x ^ 5 $ . Их двоичные представления являются $ 101 $ и $ 100110 $ (LSB - это коэффициент $ 1 $ ). Их сумма составляет $ 1 + x + 2x ^ 2 + x ^ 5= 1 + x + x ^ 5 $ (поскольку 2 $= 0 $ over $ GF (2) $ ), чье двоичное представление составляет $ 100011 $ Отказ Это XOR of $ 101 $ и $ 100110 $ .