Perché l'aggiunta in GF (2 ^ 8) uguale a XOR?

Question

Ho l'impressione che ha a che fare con un po 'di straniero coinvolto con la limitazione a 2 ^ 8 o che sto fraintendendo quale aggiunta può essere nel contesto di un campo finito, ma non sono sicuro del motivo per cui è descrittoCome 'aggiunta' in letteratura che ho letto ma il codice che vedo lo implementa con XOR.

Answer 1

I campi finiti sono solitamente descritti come polinomiali sul campo base (in questo caso $ GF (2) $ ) Modulo alcuni polinomio irriducibili. Se rappresenti ciascun polinomio come vettore di coefficienti, l'aggiunta di polinomi corrisponde all'aggiunta elementwise dei coefficienti, che nel caso di $ GF (2) $ , traduce a xor.

Ad esempio, supponiamo che i tuoi elementi di campo siano $ 1 + x ^ 2 $ e $ x + x "> $ x + x ^ 2 + X ^ 5 $ . Le loro rappresentazioni binarie sono $ 101 $ e $ 100110 $ (LSB è il coefficiente di $ 1 $ ). La loro somma è $ 1 + x + 2x ^ 2 + x ^ 5= 1 + x + x ^ 5 $ (dal momento che $ 2= 0 $ oltre $ GF (2) $ ), la cui rappresentazione binaria è $ 100011 $ . Questo è il XOR della $ 101 $ e $ 100110 $ .