Come comprendere il quantificatore senza predizione "∀ (λφ. (Φ x m → φ y))"?

Question

Sto leggendo l'incorporamento / automazione delle logiche modali nella logica di ordine superiore classica ( http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/c46.pdf ) e Goedels Proof dell'esistenza di Dio è un esempio prominente qui https://www.isa-afp.org/entries/goedelgod.html (come codificato per Isabelle / Hol). < / P >.

Questo incorporamento ha incorporato l'uguaglianza di Leibniz per le persone:

abbreviation mLeibeq :: "μ ⇒ μ ⇒ σ" (infixr "mL=" 90) where "x mL= y ≡ ∀(λφ. (φ x m→ φ y))"

.

E questo tipo di euqalità viene utilizzato già per il primo assioma:

A1a: "[∀(λΦ. P (λx. m¬ (Φ x)) m→ m¬ (P Φ))]"

.

che può essere scritto senza lambdas come:

A1a: ∀φ[P(¬φ)↔¬P(φ)]

.

La mia domanda è - Come capire l'espressione ∀(λφ. (φ x m→ φ y)), perché di solito abbiamo ∀x.P(x)? Cioè Quantificatore universale prevede l'argomento (x) e il predicato (P(x)), ma questa espressione contiene nessuno sanno cosa? è l'intero (λφ. (φ x m→ φ y)) e l'argomento x o il predicato P(x)? Cosa può essere omesso qui, qual è la convenzione qui usata?

Answer 1

la $ x $ in $ \ forlt x. P (x) $ è non un argomento. È una variabile legata che indica quale variabile il quantificer sta investendo.

Confronta la situazione per l'integrale definito, per la concretezza solo da $ 0 $ a $ 1 $ . Ecco un esempio: $$ \ INT_0 ^ 1 x ^ 2 + 3 x \, DX $$ Questo è un modo molto arcaico per scrivere espressioni matematiche che amano attenersi matematici. In generale (e ignorando i dettagli sulle funzioni non integrabili) L'integrale definito è di per sé una funzione: Ci vuole una funzione $ f $ come argomento, ad esempio la classe span="container math"> $ f (x)= x ^ 2 + 3x $ e restituisce un numero (l'area sotto la curva). Quindi potremmo semplicemente scrivere $ i $ per "integrate da $ 0 $ a $ 1 $ " E quindi l'integrale di $ f $ è semplicemente semplicemente $$ I (f) $$ (O se si desidera mantenere i limiti di integrazione visibili scrivere $ i_0 ^ 1 (f) $ , ma non lo farò). L'argomento $ f $ Non è necessario essere un simbolo, può essere un'espressione complessa: $$ I (x \ mapsto x ^ 2 + 3 x) $$ AVVISO Come " $ DX $ " sopra modificato in " $ x \ mapsto $ ". In $ \ Lambda $ -Calculus notation wetteresti questo come $$ I (\ Lambda x. x ^ 2 + 3 x). $$ Nella notazione arcaica le persone a volte si sentono a disagio sulla scrittura $$ \ INT_0 ^ 1 f $$ E così finiscono per visualizzare sempre $ dx $ scrivendo $$ \ INT_0 ^ 1 F (X) \, DX $$ Anche se non c'è davvero bisogno di farlo, perché $ \ int_0 ^ 1 $ è una funzione ordine superiore che mappa in modo reale funzioni a numeri reali. Se vuoi fare il tradizionale matematico sentire a disagio, dovresti scrivere $$ \ INT_0 ^ 1 (x \ MAPSTO X ^ 2 + 3 X) $$ sulle loro lavagne

Se questo è chiaro, dovrebbe essere facile vedere che il quantificatore universale $ \ forlt $ è come l'integrazione, tranne che ci vuole Funzione proposizionale (una mappatura in valori di verità anziché numeri) e restituisce un valore di verità . La notazione arcaica $$ \ forlt x. (x ^ 2 + 3 x> -3) $$ può essere cambiato, proprio come per gli integrali, a $$ A (f). $$ Qui $ A $ è il quantificatore universale e $ f $ il suo argomento, che è una mappatura della funzione da un set per i valori della verità. Un esempio di tale funzione è $ f (x)= (x ^ 2 + 3 x> -3) $ . E ancora, possiamo inlineare l'espressione complessa per ottenere $$ A (\ Lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)) $$ Ora basta sostituire $ a $ con $ \ forlt $ per il buon aspetto vecchio: $$ \ Forll (\ Lambda x. (x ^ 2 + 3 x> -3)). $$ Questo è il modo in cui i computer piacciono. La notazione è generale, quindi possiamo scrivere solo $ \ forlt f $ anziché $ \ forlt x. f (x) $ e espone $ \ forlt $ per quello che è: A Order-Order Mappa Funzione proposizionale ai valori di verità.