対角化が制限されないのはなぜですか？

Question

無限総和を定量化するときは、 $ i $ として制限を取ることで、無限大になります。たとえば、 $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ を見ることができます。これは発散しており、合計はありません。

対角化を行うときは、各リスト項目を自然数で索引付けしながら無限のリストを繰り返し、その結果について話してください。制限を起動しなければならない代わりにこれを行うことができるのはなぜですか？

同じ方法で、値を $ \ sum_ {n \ \ sum_ {n \ \ mathbb {n}} n $ の値を決めるのは問題ありません。無限配列？

Answer 1

いくつかの対角度化引数は、詳細は all を釘打つことができる限界を必要とするかもしれません（例えば、無限の合計、または無限の10進膨張が含まれる場合、正式には無限の収束和の単なる無限の収束額）。特定の種類）ですが、それらは一般的に限界を必要としません。

最も人気のあるDiagonalization引数は、 $ | \ mathbb {n} \ NEQ | \ mathbb {r} | $ 。これを見た方法に応じて、詳細のいくつかを解決する may が $ \ mathbb {r} $ 。そのため、代わりに対角化の絶対に離散的な例を見てみましょう。

定理 $ | \ mathbb {n} | \ NEQ | \ {0,1 \} ^ \ mathbb {n} | $

$ \ {0,1 \} ^ \ {0,1 \} ^ \ mathbb {n} $ （あなたのすべての無限順序シーケンスのセット）になるようになります（機能スペース $ \ mathbb {n} \ to \ {0,1 \} $ として考えてください。したがって、たとえば、シーケンス $ a=（0,1,0,1,0,1,0,1、\ cdots）$ を持つことができます。 SPAN CLASS="math-container"> $ A_ {2i}= 0 $ と。

これは対角度化引数ですので、矛盾から進めます。 $ \ {0,1 \} ^ \¥{0,1 \} ^ \ mathbb n $ のすべての要素を列挙することが可能であると仮定します。 $ f $ など、 $ i \ geq 0 $ 、 $ f（i）$ は、0sと1sの無限配列です。

$ f $ のイメージに表示されない明示的な無限のシーケンスを構築します。これは、そのような $ f $ は0と1sのすべての無限シーケンスを列挙することができます。つまり、 $ | \ mathbb n | \ NEQ | \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ 必要に応じて：

$$ A_I \ Triangleq 1 - F（i）_i $$

今度は、 $ i \ geq 0 $ 、 $ a \ neq fを直ちに見ることができます。 （i）$ は、 $ a= f（i）$ の場合、 $ k $ < / SPAN>、 $ A_K= f（i）_k $ ですが、特に $ k= i $ $ a_i= 1 - f（i）_i \ neq f（i）_i $ 。 $ \ blacksquare $

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この構造は明らかに限界を含まない - すべてのオブジェクトは離散的です。 $ \ mathbb r $ のために特に等価な完全な証明は、実数の構造のための限界または（簡単および自動）の収束証明を含み得る $ A $ ですが、その手順について特に洞察力があるものは何もありません。