閉鎖と普遍的な定量化

Question

私は、Scalaで教会がエンコードされたデータ型を実装する方法を考えようとしています。一流が必要なので、rank-nタイプが必要だと思われます const タイプの関数 forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

しかし、私はペアをエンコードすることができました：

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

リストについては、エンコードすることができました cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

ただし、空のリストはより問題があり、Scalaコンパイラにタイプを統合することができませんでした。

上記の定義を考慮して、次のコンパイルを定義することができますか？

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Answer 1

このソリューションを完了してくれたMark Harrahに感謝します。トリックはそれです Function1 標準ライブラリでは、一般的な方法で定義されていません。

質問の私の「閉鎖」特性は、実際にはファンクター間の自然な変換です。これは、「関数」の概念の一般化です。

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

機能 a -> b その後、この特性の専門化、SCALAタイプのカテゴリ上の2人のエンドカクター間の自然な変換である必要があります。

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] あらゆるタイプをマッピングするファンチャーです A.

そして、これが私たちのリストタイプです：

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

ここ、 Endo タイプを自分にマッピングする機能のタイプのエイリアスです（ エンド機能).

type Endo[A] = A ->: A

と Fold リストを折り畳むことができる関数のタイプです。

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

そして最後に、ここに私たちのリストコンストラクターがあります：

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

1つの警告は、Scalaのタイプシステムを支援するために（a->：b）に明示的に（a->：b）に（a => b）に変換する必要があることです。したがって、作成された後に実際にリストを折り畳むことは、まだひどく冗長で退屈です。比較のための同等のHaskellは次のとおりです。

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Haskellバージョンの構造と折りたたみをリストするのは簡潔でノイズフリーです。

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0