왜 대각선을 제한을 필요로하지 않는 이유는 무엇입니까?

Question

우리가 무한한 합계를 정량화 할 때 $ i $ 은 무한대로 간다.예를 들어, $ \ lim_ {n \ virewarrow \ infty} \ sum_ {n \ inftbb {n}}} n $ , 그리고 우리는이로 인해 이는 금액이며 합계가 없습니다.

우리가 대각선을 할 때, 각 목록 항목을 자연수로 인덱싱하는 동안 무한 목록을 반복 한 다음 결과에 대해 이야기하십시오.왜 제한을 호출하는 대신이 작업을 수행 할 수 있습니까?

동일한 방식으로 $ \ sum_ {n \ in \ mathbb> n $ 에 값을 할당하는 것이 좋습니다.무한 시퀀스

Answer 1

일부 대각선 화 인수는 세부 사항 (예를 들어, 무한한 합계를 포함하는 경우, 정식으로 무한한 수렴 합계가있는 무한한 소수 확대가있는 무한한 소수 확대가있는 무한한 소수 확장을 모두 에서 손톱 할 수 있도록 제한이 필요할 수 있습니다. 특정 종류) 그러나 그들은 일반적으로 한계를 필요로하지 않습니다.

가장 인기있는 대각선 화 논증은 $ | \ mathbb {n} | \ Neq | \ mathbb {r} | $ . 이것을 보았는지에 따라 $ \ mathbb {r} $ 의 세부 사항을 해결합니다. 스팬> 그렇다면 대신 대신 대각선의 탁월한 이산 예를 살펴 보겠습니다.

이론 $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

$ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ 은 모든 무한한 시퀀스의 집합이 될 것입니다 (또한 함수 공간 $ \ mathbb {n} \ \ \ {0,1 \} $ \ / span>이라고 생각하십시오. 따라서 예를 들어, 우리는 $ a= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \ cdots) $ 을 가질 수 있습니다. SPAN 클래스="수학 컨테이너"> $ A_ {2i}= 0 $ 및 $ a_ {2i + 1}= 1 $ . 이는 대각선 화 논쟁이기 때문에 모순을 통해 계속 진행됩니다. 우리는 먼저 $ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb n $ 을 통해 $ f $ 이므로 모든 $ i \ geq 0 $ , $ f (i) $ 은 0 초과 1s의 무한 시퀀스입니다.

$ f $ 의 이미지에 나타나지 않는 명시 적 무한 시퀀스를 구성 할 것입니다.이 $ f $ 은 $ | \ mathbb n을 의미합니다. \ Neq | \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ 원하는대로 :

$$ A_I \ TRIANGLEQ 1 - F (i) _i $$

그리고 이제 우리는 각 $ i \ geq 0 $ , $ a \ neq f (i) $ $ a= f (i) $ 다음 $ $ k $ < / span>, $ a_k= f (i) _k $ , 그러나 특히 $ k= i $ 우리는 $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ blacksquare $

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이 구성은 명확하게 제한이 포함되지 않습니다. 모든 물체는 이산입니다. $ \ mathbb r $ 에 해당하는 완전한 증거는 실수 $ a $ , 그러나 그 단계에 대해서는 특별히 통찰력이 없습니다.