Máquinas vetoriais de suporte - Separando a questão do hiperplano

Question

Pelo que vi, parece que o hiperplano de separação deve estar na forma

xw + b = 0.

Eu não fico muito bem nessa notação. Pelo que eu entendo, x.w é um produto interno, então é o resultado ser um escalar. Como você pode representar um hiperplano por um escalar + b? Estou bastante confuso com isso.

Além disso, mesmo que fosse x + b = 0, não seria de um hiperplano que passa pela origem? Pelo que entendi, um hiperplano de separação nem sempre passa pela origem!

Answer 1

É a equação de um plano (hiper) usando um vetor de ponto e normal.
Pense no avião como o conjunto de pontos P, de modo que o vetor que passa de P0 para P é perpendicular ao normal

Confira estas páginas para explicar:

http://mathworld.wolfram.com/plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/plane_%28geometry%29#definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Answer 2

Imagine um avião em um sistema de coordenadas 3D. Para descrevê -lo, você precisa de um vetor normal n desse plano e da distância d do plano até a origem. Para simplificar, suponha que o vetor normal tenha comprimento de unidade. Então a equação para esse plano é xn - d = 0.

Explicação: XN pode ser visualizada como uma projeção de x no vetor normal N. O resultado é o comprimento do vetor x paralelo a N. Se esse comprimento for igual a D, o ponto X estará no plano.

Answer 3

Uma definição de produto DOT (o que é um produto interno) é

x . y = |x| * |y| * cos (a)

Onde A é o menor ângulo entre x e y.

É fácil ver isso x . y = 0, se A = 90 graus (Pi rad).

Isso significa que se você tiver um vetor normal fixo W, um hiperplano dado por:

x . W = 0

é o conjunto de todos os pontos que x pode "apontar para" dado que x tem que ser ortogonal para W.

Agora, um hiperplano dado por:

x . W + b = 0

é o conjunto de todos os pontos que x pode "apontar" de tal forma que x . W é uma constante. Como x fica mais longo, |x| Aumenta, o ângulo, A, precisa se aproximar de 90 graus (PI rad), cos (a) diminui, para produzir o mesmo resultado constante. Se você, no entanto, tomar x apontando na direção exatamente oposta de W, cos (a) = -1 e |x| = b (desde que W é de comprimento da unidade).

Acontece que o avião dado desse conjunto de pontos é paralelo para x . W = 0, e mudou no espaço a distância -b (na direção de W) ainda dado isso W é de comprimento da unidade.

Essa resposta provavelmente não vai ajudar o OP, mas espero que alguém se beneficie com ela.