Отрицание вложенных квантификаторов

Question

Проблема в:

$$ существует x forall y (x ge y) $$

С доменом всех реальных позитивных целых чисел.

Отрицание:

$$ forall x fastin

Итак, если $ y = x + 1 $, отрицание верно.

Это означает, что отрицание отрицания (то есть исходная проблема) является ложным.

Мой вопрос в том, что если исходная проблема заключается в том, что $ существует x forall y (x g y) $, почему я не могу взять $ x = y $ и доказать, что проблема правда?

Answer 1

Я начну с вашего последнего вопроса (в комментариях); а именно «почему x = y не удовлетворяет первоначальной проблеме».

Ответ в квантификаторах. Читать слева направо. Это начинается с «Там существует» x. Так что выберите X в своей голове. Скажите X = 5. Мы не можем выбрать Y здесь, потому что у него еще нет значения, и мы должны выбрать значение для X сейчас. Теперь продолжайте прочитать следующий квантификатор, который читает «для всех Y». Упс. Мы не можем сказать для всех Y, потому что мы уже установили y = x.

На самом деле, если вы собираетесь искать решение, которое удовлетворяет исходной формуле, оно должно быть из формы «x = (некоторое положительное целое число)», причем Y вообще не задействована, так как это граница переменная (в отличие от быть свободно переменная, которую мы можем выбрать).

Однако в формуле говорится, что «существует (одиночное и специфическое) положительное целое число x, которое все целые числа меньше или равны ей», которое явно является ложным, потому что с учетом какого -либо положительного целого числа x, x+1 является положительным целым числом, которое является нет Меньше, чем и не равен ему (что говорит отрицательная формула!).