Слияние, чтобы показать эквивалентные условия имеют одно общее извлечение

Question

в лемме 30.3.9, Pierce состояния Свойства слияния для $ f _ {\ omega} $ :

$ s \ to_ * t \ land s \ to_ * u \ htrooms \ exists v. t \ to_ * v \ land u \ to_ * v $ < / P >.

Затем он заявляет следующее предложение:

$ s \ leftrightarrow_ * t \ htrities \ существует U. s \ to_ * u \ land t \ to_ * u $

Однако он не использует вышеуказанное свойство, чтобы доказать его. Я помню, что это было так для других книг о терминов перезаписи, которые я прочитал. Однако для меня это выглядит очень просто, чтобы доказать, что используя слияние леммы.

из $ s \ leftrightarrow_ * t $ One имеет $ s \ to_ * t $ а < SPAN CLASS= «Математический контейнер»> $ s \ to_ * t \ to__ * s $ Таким образом, путем слияния $ \ существует U. s \ to_ * u \ land t \ to_ * u $ .

Почему этот подход не правильно?

Answer 1

$ s \ leftrightarrow ^ * t $ не означает, что $ s \ prightarrow ^ * t $ И $ t \ pruralarrow ^ * s $ ! Это означает, что есть цепочка уменьшения $ s= s_0 \ rangleftharpoons_1 s_1 \ revleftharpoons_2 s_2 \ revleftharpoons_3 \ cdots \ revleftharpoons_n s_n= t $ где каждый из <класс span= «Математический контейнер»> $ \ rangleftharpoons_i $ может быть либо $ \ prightarrow $ или $ \ project $ . Направления могут чередовать любое количество раз.

Свойство слияния подразумевается, что если $ S leftrightarrow ^ * t $ Тогда существует $ W $ < / span> такое, что $ s \ prumearrow ^ * w \ левовидит ^ * t $ , но требуется немного больше работы, чтобы показать его. Вы можете объединить сокращения в $ S \ Leftrightarrow ^ * t $ для группировки последовательных сокращений в том же направлении вместе: $ s= T_0 \ reverarrow ^ * u_1 \ prightarrow ^ * t_1 \ proigharrow ^ * u_2 \ prightarrow ^ * t_2 \ proigharrow ^ * \ \ cdots \ fendararrow ^ * u_n \ prightarrow ^ * t_n= t $ . С помощью слияния на $ t_ {N-1} \ reverarrow ^ * u_n \ prightarrow ^ * t_n $ , существует $ v_n $ такое, что $ t_ {n-1} \ prightarrow ^ * v_n \ fenderarrow ^ * t_n $ . Таким образом, у нас есть $ T_ {N-2} \ reverarrow ^ * u_ {n-1} \ prightarrow ^ * t_ {n-1} \ prightarrow ^ * v_n \ fendarrow ^ * t_n $ .

$$ \ begin {matrix} & & U_1 & & & & & & u_ {n - 1} & & & & u_n & \\ & _ * \ Shrowwoows & & \ Searrow ^ * & & \ cdots & & _ * \ shripows & & \ searrow ^ * & & _ * \ shripows & & \ searrow ^ * & \\ T_0 & & & & & & & t_1 & & t_ {n-2} & & & & t_ {n-1} & & & & t_n \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \ color {green} {\ searrow ^ *} & \ _ {green} {_ * \ Haprow} & \\ & & & & & & & & & & & \ Color {Green} {v_n} & \\ \ end {matrix} $$

Теперь примените свойство слияния снова в $ t_ {N-2} \ левовида ^ * u_ {n-1} \ prightarrow ^ * v_n $ , получение < Spaness Class= «Математический контейнер»> $ v_ {n-1} $ такой, что $ t_ {N-2} \ prightarrow ^ * v_ {n-1} \ левовида ^ * v_n \ левовращена ^ * t_n $ . Повторите, пока вы не получите $ W= v_1 $ такой, что $ t_0 \ prightarrow ^ * v_1 \ левовидность ^ * t_n $ . Формально это является доказательством индукции по количеству чередующихся направлений в цепочке $ S \ Leftrightarrow ^ * T $ . Слияние позволяет удалить одно чередование одновременно. В более красочном языке слияние позволяет «попять складку»; Каждый раз, когда вы попадаете складку, вы объединяете два депрессии вместе, и если вы продолжаете делать это, вы в конечном итоге получаете одну депрессию.