Набор, который легко образец, но трудно образец от его дополнения

Question

Учитывая множество $ s \ subsEtq \ {0,1 \} ^ * $ , алгоритм $ a $ - это генератор для $ S $ Если дано $ n $ Случайные биты $ x \ in \ {0,1 \} ^ n $ , $ a $ генерирует элемент $ S $ размер $ n $ и $ a $ Может генерировать, по крайней мере, $ \ frac {2} {3} $ Члены $ s $ размер $ n $ (для всех $ n $ ). $ a $ не должен быть равномерным.

Есть ли набор $ s $ такой, что существует эффективный алгоритм $ a $ такой, что Для всех $ n $ , $ a $ генерирует хотя бы $ \ frac {2} {3} $ Члены $ S $ (размер $ n $ < / span>), но любой эффективный алгоритм для $ s ^ c $ может генерировать только с большинства $ \ frac {1} {3} $ Элементы из $ s ^ c $ размером $ n $ (в соответствии с Сложность Asuumptions)?

Answer 1

Мы можем построить $ S $ Такие, что генераторы полиномиальных времен для $ a $ существуют Не существует генератора для $ S ^ {C} $ . Выберите $ S $ Так что все строки, начиная с $ 1 $ находятся в нем, и ровно половина всех строк Начиная с $ 0 $ находятся в нем.

Пробоотборник, который устанавливает первый бит $ x $ на $ 1 $ и выводит его всегда генерирует Элемент в $ S $ и генерирует ровно $ \ FRAC {2} {3} $ Элементы в $ S $ .

Тем не менее, выборка из дополнения $ S $ в общем случае даже сложнее, чем вам требуется: существуют множества $ S $ такое, что существует не включенная машина, которая дана $ n, x= 0 ^ {n} $ в качестве входных выводов любой строки в $ S $ длины $ n $ Начиная с $ 1 $ . Кроме того, мы можем явно построить такой набор $ S $ .

Это легко доказать по аргументу диагонализации. Пусть $ K_ {W, n} $ Будьте набор строк длины $ n $ начиная с < Spant Class="Математический контейнер"> $ W $ . Существует счетное количество Turging Machines, поэтому пусть $ m_ {i} $ Будьте $ i $ Th Turing Machine. Для $ n \ geq 2 $ , если $ m_ {n - 1} $ на входе $ N, x= 0 ^ {n} $ не остановка или не выводит строку в $ k_ {00, n} $ < / span>, установить $ s_ {n}= k_ {1, n} \ cub k_ {00, n} $ . В противном случае установите $ s_ {n}= k_ {1, n} \ cup k_ {01, n} $ . Тогда $ s={\ epsilon, 1 \} \ cub \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ infty} s_ {i} $ - это один такой набор.