كيفية إثبات خصائص التكافؤ الحسابي المعياري المحدد

Question

منذ أن تعرفت على الحساب المعياري، واجهت بعض المشاكل معه.أعتقد أنه يستخدم جزءًا من عقلي لم أستخدمه كثيرًا.على أي حال، كنت أفكر في هذا التكافؤ المحدد:$$a^3 \equiv 5 \, ( ext{mod } 7)$$ولدي حدس أن لا $أ$ موجود ش.وهذا التكافؤ صحيح.وبمحاكاة ذلك، من الواضح أن هناك نمطًا:6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0...

لكن لا يمكنني معرفة كيفية إثبات 1 رسميًا.أن هذا النمط هو النمط الفعلي كامتداد، 2.أن التكافؤ أعلاه لا ينطبق (يجب أن يكون تافهًا إذا كان بإمكاني إثبات 1).

هل أستطيع مساعدتك؟ًشكراً جزيلا.

Answer 1

يمكنك إثبات ذلك عن طريق حساب قيمة $a^3 \bmod 7$ ل $أ=0,1,2,3,4,5,6$;إذا لم يسفر أي منها عن 5، فقد أثبتت هذا الادعاء.

لماذا هذا يكفي؟حسنا، إذا $a \equiv b \pmod 7$, ، ثم $a^3 \equiv b^3 \pmod 7$.لذلك، إذا كان هناك أي حل ل $a^3 \equiv 5 \pmod 7$, ، ثم يمكنك أن تأخذ $b = \bmod 7$, ، وسيكون ذلك حلاً آخر.الآن $ب$ هو واحد من $0,1,2,3,4,5,6$, ، لذلك أثبتنا أنه إذا كان هناك أي حل، فهو واحد $0,1,2,3,4,5,6$ يجب أن يكون الحل.على العكس من ذلك، إذا لم يكن أي من $0,1,2,3,4,5,6$ هو الحل، فلا يوجد حل على الإطلاق.

بالنسبة للحالة الخاصة للتربيع (بدلاً من التكعيب)، قد تكون مهتمًا بها المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية, وهي تقنية أكثر تقدمًا تسمح بالتحقق من وجود حلول لمثل هذه المعادلة.يوجد ايضا المعاملة بالمثل مكعب, ، على الرغم من أنني لست متأكدًا مما إذا كان ذلك يؤدي إلى خوارزمية فعالة للتحقق من الحلول عندما يكون لديك مكعب بدلاً من مربع.