Cómo probar las propiedades sobre una equivalencia de aritmética modular específica.

Question

desde que se introdujo a la aritmética modular, he tenido algunos problemas con eso.Creo que usa una parte de mi cerebro que no he usado a menudo.De todos modos, he estado pensando en esta equivalencia específica: $$ A ^ 3 \ Equiv 5 \, (\ Text {Mod} 7) $$ Y tengo una corazonada que no hay $ a $ existe S.T.Esta equivalencia es cierta.Simulandolo, está claro que hay un patrón: 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1,6, 6, 0 ...

Pero no puedo averiguar cómo probar formalmente 1. Este patrón es el patrón real y como una extensión, 2. que la equivalencia anterior no se mantiene (debe ser trivial si puedo probar 1).

¿Puede alguien ayudar?Muchas gracias.

Answer 1

Puede probarlo calculando el valor de $ a ^ 3 \ bmod 7 $ para $ a= 0, 1,2,3,4,5,6 $ ; Si ninguno de ellos cede 5, entonces ha demostrado la reclamación.

¿Por qué es suficiente esto? Bueno, si $ A \ Equiv B \ PMOD 7 $ , luego $ a ^ 3 \ Equiv b ^ 3 \ PMOD 7 $ . Por lo tanto, si hubo alguna solución a $ A ^ 3 \ Equiv 5 \ PMOD 7 $ , entonces podría tomar $ b= A \ bmod 7 $ , y esa sería otra solución. Ahora $ b $ es uno de $ 0,1,2,3,4,5,6 $ , Así que hemos demostrado que si existe alguna solución, entonces uno de $ 0,1,2,3,4,5,6 $ debe ser una solución. A la inversa, si ninguno de $ 0,1,2,3,4,5,6 $ es una solución, entonces no hay ninguna solución.

Para el caso especial de cuadratura (en lugar de en cubo), podría estar interesado en reciprocidad cuadrática , que es una técnica más avanzada que permite verificar la existencia de soluciones a tal ecuación. También hay reciprocidad cúbica , aunque no estoy seguro de si conduce a un algoritmo eficiente a Compruebe si hay soluciones cuando tenga un cubo en lugar de un cuadrado.