特定のモジュラ算術等価物についてプロパティを証明する方法

Question

モジュラー算術演算に紹介して以来、私はそれに問題がありました。私は私が頻繁に使われていない私の脳の一部を使うと思います。とにかく、私はこの特定の等価性について考えています。 $$ A ^ 3 \ QHIV 5 \、（\ text {mod} 7）$$ そして、 $ $ が存在するhunchを持っています。この等価性は当てはまります。それをシミュレートすると、パターンがあることは明らかです：6,1,6,6,0、 1,1,6,1,6,6,0、 1,1,6,1、6,6,0 ...

しかし、私は正式に証明する方法を理解することはできません。

誰もが助けになることができますか？どうもありがとう。

Answer 1

$ a ^ 3 \ bmod 7 $ の値を計算することで証明できます。 $ a= 0の場合は、 1,2,3,4,5,6 $ 。それらの利回り5のどれも、あなたはクレームを証明しています。

なぜこれは十分なのですか？さて、 $ a \ equiv b \ pmod 7 $ 、 $ a ^ 3 \ equiv b ^ 3 \ pmod 7 $ 。したがって、 $ a ^ 3 \ equiv 5 \ pmod 7 $ に解決策があった場合は、 $ bを取ることができます。= a \ bmod 7 $ 、そしてそれは別の解決策となるでしょう。 $ b $ の1つは、 $ 0,1,2,3,4,5,6 $ の1つです。したがって、解決策がある場合は、 $ 0,1,2,3,4,5,6 $ の1つが解決策でなければなりません。逆に、 $ 0,1,2,3,4,5,6 $ のどれもソリューションではない場合は、ソリューションはありません。

（キュービングではなく）四角形の場合は、二次相反は、そのような方程式に対する解の存在をチェックすることを可能にするより高度な技術です。 Cubic Reprocity もありますが、それが効率的なアルゴリズムにつながるかどうかはわかりません。正方形の代わりにキューブがある場合は解決策を確認してください。