Come dimostrare proprietà su una specifica equivalenza aritmetica modulare

Question

Da quando sono stato introdotto a aritmetico modulare, ho avuto qualche problema con esso.Penso che utilizzi una parte del mio cervello che non ho usato spesso.Ad ogni modo, ho pensato a questa specifica equivalenza: $$ A ^ 3 \ Equiv 5 \, (\ testo {mod} 7) $$ E ho un hunch che no $ a $ esiste s.t.Questa equivalenza è vera.Simulandolo, è chiaro che c'è un modello: 6, 1, 6, 6, 0, 0, Strong> 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1,6, 6, 0 ...

Ma non riesco a capire come dimostrare formalmente 1. che questo modello è il modello effettivo e come estensione, 2. che l'equivalenza sopra non tiene (dovrebbe essere banale se posso provare 1).

Qualcuno può aiutare?Grazie mille.

Answer 1

Puoi dimostrarlo calcolando il valore di $ a ^ 3 \ bmod 7 $ per $ A= 0, 1,2,3,4,5,6 $ ; Se nessuno di questi produce 5, allora hai dimostrato il reclamo.

Perché è sufficiente? Bene, se $ A \ Equiv B \ PMOD 7 $ , quindi $ a ^ 3 \ equiv b ^ 3 \ pmod 7 $ . Quindi, se ci fosse una soluzione a $ a ^ 3 \ equiv 5 \ pmod 7 $ , quindi è possibile prendere $ B= A \ BMOD 7 $ , e questa sarebbe un'altra soluzione. Ora $ B $ è uno dei $ 0,1,2,3,4,5,6 $ , Quindi abbiamo dimostrato che se c'è qualche soluzione, allora una delle $ 0,1,2,4,4,5,6 $ deve essere una soluzione. Viceversa, se nessuno di $ 0,1,2,3,4,5,6 $ è una soluzione, quindi non c'è soluzione.

Per il caso speciale di quadratura (piuttosto che cubamento), potresti essere interessato a reciprocità quadratica , che è una tecnica più avanzata che consente di verificare l'esistenza di soluzioni a tale equazione. C'è anche reciprocità cubica , anche se non sono sicuro se porta a un algoritmo efficiente a Controlla le soluzioni quando hai un cubo invece di un quadrato.