ما هي "الاستمرارية" كمصطلح في التحليل الحسابي؟

Question

خلفية

لقد قمت ذات مرة بتنفيذ نوع بيانات يمثل أرقامًا حقيقية عشوائية في هاسكل.يقوم بتسمية كل الأعداد الحقيقية من خلال تقارب تسلسل كوشي معها.هذا سوف يسمح $\mathbb{R}$ يكون في طوبولوجيا المعتادة.لقد قمت أيضًا بتنفيذ عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة.

لكن أستاذي قال: "لا يبدو أن هذه فكرة جيدة.وبما أن المقارنة غير قابلة للتقرير هنا، فإن هذا لا يبدو عمليًا جدًا.على وجه الخصوص، السماح للقسمة على 0 بالوقوع في حلقة لا نهائية لا يبدو أمرًا جيدًا."

لذلك أردت أن يمتد نوع البيانات الخاص بي $\mathbb{س}$.منذ مقارنة المساواة $\mathbb{س}$ أمر قابل للتقرير، $\mathbb{س}$ في طوبولوجيا منفصلة.وهذا يعني طوبولوجيا على $\mathbb{R}$ يجب أن يكون أدق من طوبولوجيا منفصلة على $\mathbb{س}$.

لكنني أعتقد أنني وجدت أنه حتى لو تمكنت من تنفيذ نوع البيانات هذا، فسيكون ذلك غير عملي.

إثبات، الخطوة 1

يترك $\mathbb{R}$ يكون أرقى من $\mathbb{س}$ في طوبولوجيا منفصلة.ثم $\{0\}$ مفتوح في $\mathbb{R}$.يفترض $+ :\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}$ مستمر.ثم $\{(س، -x):x \in \mathbb{R}\}$ مفتوح في $\mathbb{R}^2$.منذ $\mathbb{R}^2$ في طوبولوجيا المنتج، $\{(x,-x)\}$ هو عنصر أساسي من $\mathbb{R}^2$ لكل $x \in \mathbb{R}$.إنه يتبع هذا $\{س\}$ هو عنصر أساسي من $\mathbb{R}$ لكل $x \in \mathbb{R}$.إنه، $\mathbb{R}$ في طوبولوجيا منفصلة.

الدليل، الخطوة 2

منذ $\mathbb{R}$ في طوبولوجيا منفصلة، $\mathbb{R}$ هي المساواة حسابيا قابلة للمقارنة.وهذا تناقض إذن $+$ ليست مستمرة، وبالتالي غير قابلة للحساب.

سؤال

ما يزعجني هو النص الغامق.ومن المعروف أن كل دالة حسابية تكون مستمرة (Weihrauch 2000, p.6).على الرغم من أن التعريف التحليلي والتعريف الطوبولوجي للاستمرارية يتطابقان في الوظائف من وإلى الفضاءات الإقليدية، $\mathbb{R}$ أعلاه ليس الفضاء الإقليدي.لذلك أنا غير متأكد ما إذا كان دليلي صحيحًا.ما هو تعريف "الاستمرارية" في التحليل الحسابي؟

Answer 1

لدى الأشخاص المختلفين وجهات نظر مختلفة حول تعريف الاستمرارية، ولكن بالطريقة التي أراها، يجب أن نحدد الاستمرارية على أنها قابلية حسابية بالنسبة لبعض أوراكل.على سبيل المثال:

تعريف:وظيفة $و :\mathbf{X} o \mathbf{Y}$ تكون مستمرة إذا كانت هناك دالة جزئية قابلة للحساب $F :\subseteq \mathbf{X} imes \mathbb{N}^\mathbb{N} o \mathbf{Y}$ و البعض $p \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ مثل ذلك $f(x) = F(x,p)$.

لذا فإن المفهوم الأكثر بدائية في التعامل مع الفضاء هو التمثيل الذي نستخدمه له، والذي يؤدي بعد ذلك إلى مفهوم القابلية الحسابية، ومن هنا نحصل على فكرة الاستمرارية.

حتى الآن، يبدو تعريف الاستمرارية غير مرتبط بالاستمرارية من الطوبولوجيا، وقد يتساءل المرء لماذا تم اختيار هذا المصطلح.أحد الأسباب هو أننا نستخدم عادة التمثيلات المقبولة, ، والتي تتميز بأن الوظائف المستمرة بينهما في تعريف التحليل الحسابي هي بالضبط الوظائف المستمرة بالمعنى الطوبولوجي.

إذا كان لدينا تمثيل مقبول $\دلتا :\subseteq \Sigma^\mathbb{N} o \mathbf{X}$, ، نحصل على الطوبولوجيا $\mathbf{X}$ باعتبارها الطوبولوجيا النهائية على طول $\دلتا$, ، أي.مجموعة $U \subseteq \mathbf{X}$ مفتوح إذا كان هناك مجموعة $W$ من الكلمات المحدودة مثل ذلك $\delta^{-1}(U) = \operatorname{dom}(\delta) \cap \bigcup_{w \in W} w\Sigma^\mathbb{N}$.لقد أظهر ماتياس شرودر أن الفضاءات الطوبولوجية التي لها تمثيلات مقبولة هي بالضبط $T_0$ حواصل المساحات المعدودة.

لنعود الآن ببطء إلى نقطة البداية لسؤالك، ما الذي يمنعنا من استخدام الطوبولوجيا المنفصلة على الواقع؟السبب وراء عدم قدرتنا على فعل ذلك هو أن كل مساحة قابلة للعد قابلة للفصل، أي أنها تحتوي على تسلسل كثيف (قابل للعد).يظل أخذ النواتج قابلاً للفصل، لذا فإن كل طوبولوجيا مرتبطة بالتمثيل تكون بالضرورة قابلة للفصل.الفضاء المنفصل قابل للفصل إذا كان قابلاً للعد، لذلك لا يمكننا الحصول على الطوبولوجيا المنفصلة على الواقع.

هناك طريقة للحصول على تمثيل مقبول ل $\mathbb{R}$ الذي يجعل $\mathbb{س}$ مساحة فرعية منفصلة (في الأساس، علاج $\mathbb{R}$ مثل $\mathbb{N}^{*} \cup \mathbb{N}^\mathbb{N}$) ، ولكن كما جادلت في السؤال، فإن هذا يجعل عملية الجمع غير قابلة للحساب (وبشكل عام، لا تشبه إلا القليل جدًا من الحقائق كما نريدها).

في ملاحظة جانبية، لا يمكننا تجنب الوقوع في مشكلة دون حتى التعرف عليها عند محاولة القسمة عن طريق الخطأ $0$ يمثل عائقًا كبيرًا إذا كنا نحاول إجراء الجبر الخطي باستخدام الأعداد الحقيقية.

مراجع:

بيتر كولينز:التحليل الحسابي مع التطبيقات على الأنظمة الديناميكية.الرياضيات.هيكل.حساب.الخيال العلمي.30(2):173-233 (2020)

مارتين هوتزل إيسكاردو:الطوبولوجيا الاصطناعية:أنواع البيانات والمساحات الكلاسيكية.الإلكترون.ملاحظات النظرية.حساب.الخيال العلمي.87:21-156 (2004)

تاكايوكي كيهارا، أرنو باولي: القسمة على صفر - ما مدى سوء هذا الأمر حقًا؟.مفكس 2016:58:1-58:14

أرنو بولي: حول الجوانب الطوبولوجية لنظرية الفضاءات الممثلة.قابلية الحساب 5(2):159-180 (2016) arXiv

ماتياس شرودر:تمديد المقبولية.النظرية.حساب.الخيال العلمي.284(2):519-538 (2002)

Answer 2

توفر إجابة أرنو بعض مواد القراءة الأساسية المفيدة جدًا، وأود فقط أن أتناول سؤالك المحدد عنها $\mathbb{R}$.

دعونا نتذكر أولًا نتيجة بيتر هيرتلينج، انظر النظرية 4.1بنية الأعداد الحقيقية قاطعة بشكل فعال (بي دي إف هنا)، حول البنية القابلة للحساب للأعداد الحقيقية.لنفترض أن لدينا تمثيل $\mathbb{R}$, ، أي بنية بيانات تمثل الحقائق، مثل:

• $0$ و $1$ هي عناصر محسوبة من $\mathbb{R}$,
• العمليات الميدانية $+$, $-$, $\مرات$ و $/$ قابلة للحساب (حيث يكون القسمة على صفر غير محدد بالطبع)
• عامل الحد، الذي يأخذ تسلسل كوشي السريع إلى حده، قابل للحساب (تسلسل $(x_n)_n$ سريع عندما $|x_n - x_m| \leq 2^{-\min(m,n)}$).
• النظام الصارم $<$ هو شبه قابل للتقرير

تنص الشروط المذكورة أعلاه ببساطة على أن الحقائق الحقيقية يجب أن تكون حقلاً مرتبًا وقابلاً للحساب، وهو إلى حد كبير النسخة القابلة للحساب من التوصيف المعتاد للواقع (تتمسك البديهية الأرخيمدية أيضًا، كما اتضح).

ثم يلي ذلك:

1. طوبولوجيا $\mathbb{R}$ هي طوبولوجيا الإقليدية القياسية
2. المساواة غير قابلة للتقرير، أو بالمثل، اختبار الصفر غير قابل للتقرير.
3. أي اثنين من هذه الهياكل متماثلان حسابيا.

هذه حقائق لا مفر منها.قد يعتقد معلمك أن عدم وجود مساواة قابلة للفصل أمر مؤسف، أو أن القسمة على صفر يجب أن تشير إلى خطأ، ولكن وهذا من المستحيل ترتيبه إذا أراد المرء الحفاظ على البنية القابلة للحساب للواقع.

فيما يتعلق بالتنفيذ الخاص بك:من المهم أن تمثل شخصًا حقيقيًا بتسلسل كوشي معا مع معلومات عن مدى سرعة تقاربها.أتمنى أنك فعلت ذلك.