Was ist die "Kontinuität" als Begriff in berechenbarer Analyse?

Question

Hintergrund

Ich habe einmal einen Datentyp implementiert, der willkürliche echte Zahlen in Haskell darstellt. Es beschriftet alle echten Zahlen, indem sie eine cauchige Sequenz mit sich konvergieren. Das wird $ \ Mathbb {R} $ in der üblichen Topologie sein. Ich habe auch Zugabe, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung implementiert.

aber mein Lehrer sagte: "Das scheint nicht eine gute Idee zu sein. Seit dem Vergleich ist hier der Vergleich nicht sehr praktisch aussieht. Insbesondere, lässt die Division um 0 in einer unendlichen Schleife fallen gut aussehen. "

Ich wollte also, dass mein Datentyp $ \ mathbb {q} $ erweitert. Da der Gleichstellungsvergleich von $ \ mathbb {q} $ entschieden ist, ist $ \ mathbb {q} $ in diskreten Topologie. Das bedeutet eine Topologie auf $ \ mathbb {r} $ muss feiner sein als die diskrete Topologie auf $ \ Mathbb {q} $ .

aber ich glaube, ich fand das, auch wenn ich einen solchen Datentyp implementieren könnte, ist es unpraktisch.

Beweis, Schritt 1

lass $ \ mathbb {r} $ feiner sein als $ \ mathbb {q} $ in diskrete Topologie. Dann ist $ \ {0 \} $ in $ \ MathBB {R} $ geöffnet. Nehmen Sie an, $ +: \ MathBB {R} ^ 2 → \ mathbb {r} $ ist kontinuierlich. Dann $ \ {(x, -x): x \ in \ mathbb {r} \} $ ist in $ geöffnet \ mathbb {r} ^ 2 $ . Da $ \ mathbb {r} ^ 2 $ in Produkttopologie ist, $ \ {(x, -x) \} $ ist ein Basiselement von $ \ mathbb {r} ^ 2 $ für jeden $ x \ in \ mathbb {r} $ . Daraus folgt, dass $ \ {x \} $ ein Basiselement von $ \ Mathbb {R} $ ist Für jeden $ x \ in \ mathbb {r} $ . Das heißt, $ \ mathbb {R} $ ist in diskreter Topologie.

Beweis, Schritt 2

ist seit $ \ mathbb {r} $ in diskreten Topologie, $ \ mathbb {r} $ ist rechnerisch Gleichheit vergleichbar. Dies ist ein Widerspruch, also ist $ + $ nicht kontinuierlich, und somit nicht berechenbar .

Frage

Was mich togiert, ist der fettgedruckte Text. Es ist bekannt, dass jede berechenbare Funktion kontinuierlich ist (Weihrauch 2000, S. 6). Obwohl die analytische Definition und die topologische Definition von Kontinuität in Funktionen von und nach euklidanischen Räumen zusammenfallen, ist $ \ Mathbb {R} $ oben kein euklidischer Raum. Ich bin also unsicher, ob mein Beweis richtig ist. Was ist die Definition von "Kontinuität" in der berechenbaren Analyse?

Answer 1

Die verschiedenen Personen haben unterschiedliche Ansichten darüber, was die Definition der Kontinuität sein sollte, aber so, wie ich es sehe, sollten wir die Kontinuität definieren, um Rechenfähigkeit relativ zu einem anderen Oracle zu sein. Zum Beispiel:

definition : eine Funktion $ F: \ mathbf {x} \ to \ mathbf {y} $ ist fortlaufend, wenn vorhanden Eine berechenbare Teilfunktion $ F: \ Subseteq \ Mathbf {x} \ Male \ MathBB {n} ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbb {y} $ und einige $ p \ in \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ so, dass $ f (x)= f (x, p) $ .

Das primitivste Konzept im Umgang mit einem Raum ist, welche Darstellung wir dafür verwenden, die dann den Begriff der Berufsfähigkeit ergibt, und dadurch erhalten wir den Begriff der Kontinuität.

Bisher erscheint die Definition der Kontinuität eher nicht mit der Kontinuität von der Topologie, und man kann sich fragen, warum dieser Begriff gewählt wurde. Ein Grund ist, dass wir normalerweise zulässige Darstellungen verwenden, die die Charakterisierung aufweisen, dass die Funktionen zwischen ihnen, die in der recructable Analyse-Definition kontinuierlich sind, genau die Funktionen sind, die im topologischen Sinne kontinuierlich sind.

Wenn wir eine zulässige Vertretung haben $ \ Delta: \ Subseteq \ Sigma ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbf {x} $ , erhalten wir die Topologie auf $ \ mathbf {x} $ als endgültige Topologie entlang $ \ Delta $ , dh ein set < Span-Klasse="Math-Container"> $ u \ subseteq \ mathbf {x} $ ist geöffnet IFF Es gibt einen Set $ W $ von endlichen worten so dass $ \ Delta ^ {- 1} (u)=ONTERNAME {DOM} (\ DELTA) \ CAP \ BIGCUP_ {W \ IN W \ SIGCUP_ {W \ MathBB { N} $ . Matthias Schröder hat gezeigt, dass die topologischen Räume, die zulässige Darstellungen aufweisen, genau der $ T_0 $ Quotentienten von zählbar basierenden Räumen sind.

Nun, um langsam zum Ausgangspunkt Ihrer Frage zurückzukehren, was jedoch daran hindert, die diskrete Topologie an den Realen zu nutzen? Der Grund, warum wir nicht das tun können, ist, dass jeder zählbar basierende Raum trennbar ist, dh eine (zählbare) dichtbare Sequenz hat. Die Einnahme von Quotientenkonserven, die trennbar sind, sodass jede mit einer Darstellung verbundene Topologie notwendigerweise trennbar ist. Ein diskreter Raum ist trennbar IFF, es ist zählbar, sodass wir nicht die diskrete Topologie an den Realen erhalten können.

Es gibt einen Weg, um eine zulässige Darstellung von $ \ mathbb {r} $ zu erhalten, die $ \ mathbb { Q} $ ein diskreter Unterraum (im Wesentlichen behandeln Sie $ \ mathbb {r} $ als $ \ mathbb { N} ^ {*} \ cup \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ ), aber da Sie in der Frage argumentiert haben, ist das Ergänzungen nicht komputierbar (und insgesamt sehr wenig Ähnlichkeit mit den Realen Wie wir sie wollen).

auf einer Seite Note, dass wir nicht vermeiden können, ohne festzuhalten, ohne es zu erkennen, wenn er versehentlich versucht, von $ 0 $ ein erhebliches Hindernis zu teilen, wenn wir versuchen, dies zu tun lineare Algebra mit echten Zahlen.

referenzen :

pieter collins: Berechnende Analyse mit Anwendungen auf dynamische Systeme . Mathematik. Struct. Comput. SCI. 30 (2): 173-233 (2020)

Martín Hötzel Escardó: Synthetische Topologie: von Datentypen und klassischen Räumen . Elektron. HINWEISE Theor. Comput. SCI. 87: 21-156 (2004)

Takayuki Kihara, Arno Pauly: Teilen durch Null - wie schlecht ist es wirklich? . MFCS 2016: 58: 1-58: 14

arno pauly: auf den topologischen Aspekten der Theorie der dargestellten Räume . Berechtigungsfähigkeit 5 (2): 159-180 (2016) arxiv

Matthias Schröder: Erweiterte Zulässigkeit . Theor. Comput. SCI. 284 (2): 519-538 (2002)

Answer 2

Die Antwort von ARNO bietet ein sehr nützliches Hintergrundmaterial. Ich möchte gerne Ihre spezifische Frage über $ \ Mathbb {R} $ ansprechen.

Lassen Sie uns zunächst an ein Ergebnis von Peter Hertling erinnern, siehe theorem 4.1 in Eine echte Nummernstruktur, die effektiv kategorisch ist ( pdf hier), um berechenbare Struktur der reale Nummern. Angenommen, wir haben eine Vertretung von $ \ Mathbb {R} $ , d. H. Eine Datenstruktur, die die Realen darstellt, so dass:

.
• $ 0 $ und $ 1 $ sind berechenbare Elemente von $ \ mathbb {r} $ ,
• Die Feldvorgänge $ + $ , $ - $ , $ \ \ times $ und $ / $ sind berechenbar (wo die Division von Null natürlich nicht definiert ist)
• Der Grenzbediener, der eine schnelle Cauchy-Sequenz an seine Grenze einnimmt, ist berechenbar (eine Sequenz $ (x_n) _n $ ist schnell, wenn $ | x_n - x_m | \ leq 2 ^ {- \ min (m, n)} $ ).
• die strenge Bestellung $ < $ ist semidekidable

Die oben genannten Bedingungen geben einfach an, dass die Realen ein berechenbares Cauchy-bestelltes Feld sein sollten, das ziemlich die berechnende Version der üblichen Bakterisierung von Realen (das Archimedean-Axiom hält auch, wie es herausstellt).

Dann folgt das:

.
1. Die Topologie von $ \ MathBB {R} $ ist die Standard-Euklidean-Topologie
2. Gleichheit ist unentschlossen, oder äquivalent ist das Testng für Null unentscheidbar.
3. Alle zwei solcher Strukturen sind rechenförmig isomorph.

Dies sind unvermeidliche Fakten. Ihr Lehrer kann denken, dass nicht entschiedene Gleichstellung unglücklich ist, oder dass die Division von Null einen Fehler melden sollte, aber ist unmöglich, nicht zu arrangieren , wenn man die berechenbare Struktur der Realen behalten möchte. .

In Bezug auf Ihre Implementierung: Es ist unerlässlich, dass Sie ein echtes mit einer Cauchy-Sequenz zusammen mit -informationen darüber repräsentieren, wie schnell sie konvergiert. Ich hoffe du hast das getan.